INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 31
qu'un petit écart à une trajectoire de référence sera amplifié exponentiellement avec le temps t comme
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avec le temps caractéristique r = 1/ log À > O.
' '
1
1
1 E,(x)
1
t
V
Eo(x)
, '
' ' '
t(X) 1 ' ' ,
'
'
'
'
'
'
FIGURE 12. Flot d'Anosov près d'une trajectoire quelconque. Une distribution de points {nuage gris) est étirée
dans la direction transverse Eu , contractée dans la direction Es et pas déformée dans la direction neutre du flot Eo .
Théorème 2.3 (Anosov 1967). Le flot géodésique sur une variété à courbure sectionnelle< 0 est Anosov. (Précisément il s'agit du flot sur la
couche d'énergie :EE, E > 0).
2.1.d. Mécanisme de l'instabilité d'Anosov pour un billard dispersif.
Il n'est pas évident à priori de relier l'image 11 (flot représenté en x) et
l'image 12 (flot représenté en x = (x, ~)). Nous allons expliquer cette
relation et donner une idée de la preuve (ou plutôt du mécanisme)
du théorème 2.3 en discutant le cas d'un billard dispersif (bien que le
flot de celui-ci ne soit pas lisse). Remarquons que la dynamique dans
un billard plan est une succession de propagations en ligne droite et
de réflexions sur des obstacles. Concernant la propagation, voir figure
13(a), on considère une trajectoire de référence (c'est l'axe z) et on
note x l'axe orthogonal, qui sert de section de Poincaré : une trajectoire voisine coupe cet axe à la position x et avec un angle i. Après
une longueur parcourue L donnée, et au premier ordre en x, i « 1,