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FRÉDÉRIC FAURE
Cas d'un billard dispersif. Le domaine est aussi noté .7. L'énergie
E = H(x,Ç) = ~ IÇl 2 est indépendante de x. On déduit que v =
dx/dt = 8H/8Ç = Ç et E = ~ lvl 2 , en particulier la norme de la
vitesse est conservée. Un point de la couche d'énergie EE est donc
caractérisé par x E .7 et la direction de la vitesse v. La difficulté
cependant dans un billard dispersif est que la variété EE et le flot
leur étude mathématique plus difficile [CM06]. (On observe en effet
des singularités dans la figure 10 à t = 2.4).
2.1.c. Instabilité hyperbolique d'Anosov. La définition suivante due
à Anosov caractérise précisément la propriété de sensibilité aux conditions initiales. Cette définition est très utile car elle montre une manifestation de chaos appelée mélange (voir paragraphe 2.2) et d'autre
part cette propriété se vérifie dans certains modèles comme le flot géodésique sur une variété compacte à courbure strictement négative ou
les billards dispersifs (à ceci près que le flot du billard n'est pas C 00 ).
Pour appliquer la définition suivante au cas du flot géodésique discuté plus haut, penser que M = EE est la couche d'énergie de dimension 3 et que œ = (x, Ç).
Définition 2.2. Un flot
tout point œ E M, l'espace tangent se décompose en
(42)
qui est une décomposition continue en œ et invariante par le flot, avec
Eo(œ) := !Rv(œ) (c'est-à-dire espace engendré par v(œ)), et il existe
une métrique 11-11 sur TM, un coefficient d'instabilité À> 1, C > 0,
tels que
(43)
"i/w E Eu(œ), "i/t ~ 0, ll(D "i/w E Es(œ), "i/t ~ 0, ll(D Autrement dit, Eo est la direction du flot appelée direction neutre,
Eu est la direction vers des trajectoires voisines qui divergent dans
le futur, appelée direction instable et E 8 est la direction vers des trajectoires voisines qui convergent dans le futur (donc divergent dans
le passé), direction stable. Voir figure 12. Alors (43) signifie en gros
FRÉDÉRIC FAURE
Cas d'un billard dispersif. Le domaine est aussi noté .7. L'énergie
E = H(x,Ç) = ~ IÇl 2 est indépendante de x. On déduit que v =
dx/dt = 8H/8Ç = Ç et E = ~ lvl 2 , en particulier la norme de la
vitesse est conservée. Un point de la couche d'énergie EE est donc
caractérisé par x E .7 et la direction de la vitesse v. La difficulté
cependant dans un billard dispersif est que la variété EE et le flot
leur étude mathématique plus difficile [CM06]. (On observe en effet
des singularités dans la figure 10 à t = 2.4).
2.1.c. Instabilité hyperbolique d'Anosov. La définition suivante due
à Anosov caractérise précisément la propriété de sensibilité aux conditions initiales. Cette définition est très utile car elle montre une manifestation de chaos appelée mélange (voir paragraphe 2.2) et d'autre
part cette propriété se vérifie dans certains modèles comme le flot géodésique sur une variété compacte à courbure strictement négative ou
les billards dispersifs (à ceci près que le flot du billard n'est pas C 00 ).
Pour appliquer la définition suivante au cas du flot géodésique discuté plus haut, penser que M = EE est la couche d'énergie de dimension 3 et que œ = (x, Ç).
Définition 2.2. Un flot
tout point œ E M, l'espace tangent se décompose en
(42)
qui est une décomposition continue en œ et invariante par le flot, avec
Eo(œ) := !Rv(œ) (c'est-à-dire espace engendré par v(œ)), et il existe
une métrique 11-11 sur TM, un coefficient d'instabilité À> 1, C > 0,
tels que
(43)
"i/w E Eu(œ), "i/t ~ 0, ll(D "i/w E Es(œ), "i/t ~ 0, ll(D Autrement dit, Eo est la direction du flot appelée direction neutre,
Eu est la direction vers des trajectoires voisines qui divergent dans
le futur, appelée direction instable et E 8 est la direction vers des trajectoires voisines qui convergent dans le futur (donc divergent dans
le passé), direction stable. Voir figure 12. Alors (43) signifie en gros