INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 29
Remarque 2.1.
(1) Plus généralement, un billard dispersif est un ensemble d'obstacles lisses et convexes sur 'll'd placés de sorte que les trajectoires ont
uniformément un horizon fini.
(2) La dynamique en ligne droite dans un billard dispersif peut être
considérée comme la dynamique des trajectoires géodésiques sur une
surface à courbure négative (cela signifie que les courbures principales
sont opposées). Voir la figure 11.
vue du haut
cas limite e --+ 0 :
billard dispersif
FIGURE 11. Le flot dans un billard dispersif est un cas limite
de flot sur une surface à courbure négative concentrée sur la
ligne de rebond.
(3) En 1898, Hadamard a initié la théorie du chaos avec l'étude des
géodésiques sur les surfaces à courbure négative constante (surfaces
hyperboliques).
2.1.b. Espace des phases et couche d'énergie.
Cas du flot géodésique sur une surface lisse. Nous avons vu dans
l'exemple 1.11 que le flot géodésique sur une surface Y est un flot
hamiltonien. L'espace des phases est (x, Ç) E T* Y, c'est-à-dire qu'en
chaque point x E Y il faut aussi considérer la variable impulsion
Ç E T;Y = JR 2 • On a dimT*Y = 4. L'énergie H(x,Ç) = ! llÇll~ est
conservée. Par conséquent la particule évolue dans une sous-variété
(selon son énergie de départ E > 0) qui est définie par
EE := { (x, Ç) E T* Y 1 E = ~ llÇll~} ,
appelée couche d'énergie. La variété EE est compacte si Y est compacte et on a dimEE = 3.