28
FRÉDÉRIC FAURE
Après quelques rebonds seulement, deux trajectoires initialement
très proches peuvent avoir des évolutions très différentes ( décorrélées). Sur la figure 9(b), on observe une bille (ou nuage de billes indépendantes) avec une incertitude initiale en position de !::.y= 10- 4 .
Cette incertitude croît exponentiellement et le comportement peut
différer notablement après un temps très court (ici 6 rebonds).
La dynamique déterministe engendre donc du hasard. Cela est à
l'origine du chaos déterministe et de la complexité dans les systèmes
dynamiques, et plus généralement de la complexité en physique et
dans la nature. Voir [Rue91] [Rue95] et les vidéos de É. Ghys et al.
sur le chaos [LGA].
Question (très actuelle). Est-il possible de faire des prédictions sur
l'évolution malgré ce hasard? de comprendre les lois de ce hasard?
2.1.a. Approche probabiliste. Pour répondre à la question ci-dessus,
il est nécessaire d'adopter une approche probabiliste. Voici l'idée.
t=O
t=l.8
t=2.4
t=5
diffusion
dans le réseau
FIGURE 10. Évolution d'un ensemble très localisé de conditions initiales (D.y = 10- 4 ). La distribution s'équidistribue
sur le billard. Dans le réseau, elle diffuse (le rayon croît
comme r(t) ::= C · ..fi,).
Sur la figure 10 observons N = 10 4 billes indépendantes avec des
conditions initiales très proches !::.y = 10- 4 . La distribution des billes
peut s'interpréter comme une distribution de probabilité d'une bille
initiale. Cette distribution converge vers l'équilibre et diffuse sur le
réseau (le billard périodisé sur le plan). Pour cette distribution, on
observe un comportement prédictible mais irréversible. Il y a donc
une évolution effective prédictible( 19 ) pour la distribution de probabilité. On introduit la notion d'entropie pour caractériser cette perte
d'information sur la position de la particule au cours du temps.
< 19 >Le travail va donc porter à trouver les lois d'évolution pour cette distribution
de probabilité. C'est un sujet actuel de recherche.
FRÉDÉRIC FAURE
Après quelques rebonds seulement, deux trajectoires initialement
très proches peuvent avoir des évolutions très différentes ( décorrélées). Sur la figure 9(b), on observe une bille (ou nuage de billes indépendantes) avec une incertitude initiale en position de !::.y= 10- 4 .
Cette incertitude croît exponentiellement et le comportement peut
différer notablement après un temps très court (ici 6 rebonds).
La dynamique déterministe engendre donc du hasard. Cela est à
l'origine du chaos déterministe et de la complexité dans les systèmes
dynamiques, et plus généralement de la complexité en physique et
dans la nature. Voir [Rue91] [Rue95] et les vidéos de É. Ghys et al.
sur le chaos [LGA].
Question (très actuelle). Est-il possible de faire des prédictions sur
l'évolution malgré ce hasard? de comprendre les lois de ce hasard?
2.1.a. Approche probabiliste. Pour répondre à la question ci-dessus,
il est nécessaire d'adopter une approche probabiliste. Voici l'idée.
t=O
t=l.8
t=2.4
t=5
diffusion
dans le réseau
FIGURE 10. Évolution d'un ensemble très localisé de conditions initiales (D.y = 10- 4 ). La distribution s'équidistribue
sur le billard. Dans le réseau, elle diffuse (le rayon croît
comme r(t) ::= C · ..fi,).
Sur la figure 10 observons N = 10 4 billes indépendantes avec des
conditions initiales très proches !::.y = 10- 4 . La distribution des billes
peut s'interpréter comme une distribution de probabilité d'une bille
initiale. Cette distribution converge vers l'équilibre et diffuse sur le
réseau (le billard périodisé sur le plan). Pour cette distribution, on
observe un comportement prédictible mais irréversible. Il y a donc
une évolution effective prédictible( 19 ) pour la distribution de probabilité. On introduit la notion d'entropie pour caractériser cette perte
d'information sur la position de la particule au cours du temps.
< 19 >Le travail va donc porter à trouver les lois d'évolution pour cette distribution
de probabilité. C'est un sujet actuel de recherche.