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FRÉDÉRIC FAURE
appelle cette limite tmax = ê log(l/lï.) le temps d'Ehrenfest. On verra
qu'il joue un rôle important en chaos quantique.
Idée de preuve du théorème d'Egorov. La relation (41) se déduit
de (36). Ensuite (39) se déduit par intégration. En effet se rappelant
U(t) = exp(-itOpli(H)/lï) en (21) et d(.fé'ta)/dt = {H, a} en (14) on
obtient en dérivant (39)) et faisant t = 0 que :
( - ~Opli(H) )opli(a) + Opli(a) (~Opli(H)) = Opli( {H, a}+ O(lï))
{:::::} [Opli(H), Opli(a)J = ilï.Opli({H,a}) + O(lï. 2 ). D
2. Chaos en mécanique classique
Dans cette partie on revient à la mécanique classique de Hamilton
pour s'intéresser à un type de dynamique que l'on appelle fortement
chaotique car ayant une forte sensibilité aux conditions initiales. Le
terme technique sera Anosov ou uniformément hyperbolique.
La découverte de telles dynamiques chaotiques a commencé au
XIXe siècle avec Hadamard et Poincaré, puis leur étude a progressé
au xxe siècle avec Birkhoff, Anosov, Smale, Bowen, Ruelle etc. et fait
toujours l'objet de recherches en physique et en mathématiques.
Commençons par l'exemple simple à expliquer (mais un peu difficile à étudier) que sont les billards dispersifs. Nous verrons ensuite
qu'en régularisant les rebonds sur les bords on obtient un modèle
mieux compris qui est le flot géodésique sur une variété à courbure négative. Pour mettre en évidence les techniques qui permettent
de démontrer les propriétés de chaos, nous étudierons finalement
l'application du chat d 'Arnold ou cat map, qui est un modèle jouet
particulier mais où les propriétés de chaos sont vraiment plus simples
à démontrer. L'étude des systèmes dynamiques est plus générale que
celle des dynamiques hamiltonienne (c'est-à-dire de la forme particulière (5)). On peut ainsi parler de dynamique chaotique pour des
flots engendrés par des champs de vecteurs quelconques, pour des
automates cellulaires etc.
2.1. Billard dispersif de Sinaï et instabilité d'Anosov
Le billard de Sinaï est un carré avec conditions périodiques au bord
(c'est donc un tore ' 1!' 2 ) et contenant des disques. Une bille évolue en
FRÉDÉRIC FAURE
appelle cette limite tmax = ê log(l/lï.) le temps d'Ehrenfest. On verra
qu'il joue un rôle important en chaos quantique.
Idée de preuve du théorème d'Egorov. La relation (41) se déduit
de (36). Ensuite (39) se déduit par intégration. En effet se rappelant
U(t) = exp(-itOpli(H)/lï) en (21) et d(.fé'ta)/dt = {H, a} en (14) on
obtient en dérivant (39)) et faisant t = 0 que :
( - ~Opli(H) )opli(a) + Opli(a) (~Opli(H)) = Opli( {H, a}+ O(lï))
{:::::} [Opli(H), Opli(a)J = ilï.Opli({H,a}) + O(lï. 2 ). D
2. Chaos en mécanique classique
Dans cette partie on revient à la mécanique classique de Hamilton
pour s'intéresser à un type de dynamique que l'on appelle fortement
chaotique car ayant une forte sensibilité aux conditions initiales. Le
terme technique sera Anosov ou uniformément hyperbolique.
La découverte de telles dynamiques chaotiques a commencé au
XIXe siècle avec Hadamard et Poincaré, puis leur étude a progressé
au xxe siècle avec Birkhoff, Anosov, Smale, Bowen, Ruelle etc. et fait
toujours l'objet de recherches en physique et en mathématiques.
Commençons par l'exemple simple à expliquer (mais un peu difficile à étudier) que sont les billards dispersifs. Nous verrons ensuite
qu'en régularisant les rebonds sur les bords on obtient un modèle
mieux compris qui est le flot géodésique sur une variété à courbure négative. Pour mettre en évidence les techniques qui permettent
de démontrer les propriétés de chaos, nous étudierons finalement
l'application du chat d 'Arnold ou cat map, qui est un modèle jouet
particulier mais où les propriétés de chaos sont vraiment plus simples
à démontrer. L'étude des systèmes dynamiques est plus générale que
celle des dynamiques hamiltonienne (c'est-à-dire de la forme particulière (5)). On peut ainsi parler de dynamique chaotique pour des
flots engendrés par des champs de vecteurs quelconques, pour des
automates cellulaires etc.
2.1. Billard dispersif de Sinaï et instabilité d'Anosov
Le billard de Sinaï est un carré avec conditions périodiques au bord
(c'est donc un tore ' 1!' 2 ) et contenant des disques. Une bille évolue en