INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 25
Afin de motiver le résultat d'Egorov qui va suivre, considérons
en mécanique classique une fonction a(x, Ç) sur l'espace des phases,
considérée comme observable. On note .4a : f(x, Ç) t-t a(x, Ç)f(x, Ç)
l'opérateur de multiplication associé. Utilisant l'opérateur d'évolution
de Liouville (13) défini par .!4,/ = f o suivante(lB) :
(38)
.f4. o .4a o .!L'-t = .41!4.a·
On comprend (38) comme une équation d'évolution classique
des observables. Rappelons que l'équation d'évolution infinitésimale
correspondante (14) est d(.!4,a)/dt = {H, a}.
Le théorème d'Egorov suivant montre qu'en mécanique quantique
(analyse semi-classique) on a une relation analogue mais approximative (avec une erreur O(li) avec li« 1). L'opérateur d'évolution classique .f4, est remplacé par l'opérateur unitaire U(t) défini par (21),
et l'opérateur .4a est remplacé par Opli(a). Plus important à remarquer, l'espace fonctionnel classique L 2 (1R~:ê) classique est remplacé
par l'espace quantique L 2 (JR~).
Théorème 1.22 (d'Egorov, [Zwo12, Th.11.1]). Pour tout a E .9"(JR 2 d),
tout t E :IR, on a la relation
(39)
avec at E .9"(JR 2 d) sous la forme
(40)
at = .!4,a + Ot(li).
Au niveau infinitésimal cette relation s 'écrit :
(41) ili dOi:(at) = [Opn(H), Opli(at)] = iliOpli( {H, at}) + O(li 2 ).
Remarque 1.23. On comprend (39) comme une équation d'évolution
quantique des observables. La notation Ot(li) dans (40) signifie que
les constantes peuvent dépendre de t. Ici ce reste est donc négligeable
à t fixé et li -+ O. On peut améliorer cela et avoir un reste négligeable
pour ltl ~ e log(l/li) et li -+ 0 à condition que e soit assez petit. On
(18)pour f E coo(R2d),
(2t o vlta o .ft'_tf)(x) = 2t(a(x)f(_J)(x).