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FRÉDÉRIC FAURE
Remarque 1.20. Vérifions que la règle de quantification (32) donne
bien (18) : en effet pour une fonction V(x) (fonction de x seulement)
on vérifie que Opn(V(x)) = V(x), opérateur multiplication par V
(on a ($V)(wx,we) = ($V(wx)) · ô(we), d'où Opn(V(x)) = V(x)).
De même Opli.(V(Ç)) = V(Opli.(Ç)) donc Opli.(Ç 2 ) = (Opli.(Ç)) 2 =
-fi 2 !:l.. On déduit (17). A partir de (32)) on vérifie aussi que Opli.(a) =
(Opn(a))* (adjoint).
Voici trois propriétés générales de la procédure de quantification
qui seront utiles dans la suite.
Proposition 1.21 ([Zwo12]) .
• Composition d'opérateurs et produit de symboles : Pour tout
a, b E .9'(JR 2 d) on a pour fi« 1 (le reste est en norme opérateur)
(35)
• Commutateurs d'opérateurs et crochets de Poisson de symboles (15) :
(36) [c-~)Opn(a), (-~)Opli(a)J = (-~)Opli({a,b}) (1 + O(fi)) .
• Trace d'opérateurs :
(37)
Comme exemple très simple mais important de (36), on calcule
que x(-ififœ)'t/J- (-ififx)(x't/J) = ifi't/J et par ailleurs {x,Ç} = 1. Cela
s'écrit: [C-*)Opli.(x), (-*)Opli.(ç)] = (-*)Opn({x,Ç}).
1.2.h. Théorème d'Egorov, voir le texte de Clotilde Fermanian Kammerer (ce volume). Nous allons voir maintenant avec le théorème
d'Egorov, l'intérêt de la quantification de Weyl : à la limite semiclassique fi -t 0, pour un hamiltonien H(x, Ç) assez général et pour un
intervalle de temps t borné, les ondes quantiques régies par l'équation
de Schrodinger se déplacent approximativement comme des particules
régies par les équations de Hamilton classiques. Cette approximation
est d'autant plus valable que fi « 1, c'est-à-dire que Wx = Ç/fi » 1.
En physique, la petite valeur de fi à l'échelle humaine explique qu'il
ait fallu attendre le xxe siècle pour découvrir les effets subtils de la
mécanique quantique car se manifestant à l'échelle des atomes.
FRÉDÉRIC FAURE
Remarque 1.20. Vérifions que la règle de quantification (32) donne
bien (18) : en effet pour une fonction V(x) (fonction de x seulement)
on vérifie que Opn(V(x)) = V(x), opérateur multiplication par V
(on a ($V)(wx,we) = ($V(wx)) · ô(we), d'où Opn(V(x)) = V(x)).
De même Opli.(V(Ç)) = V(Opli.(Ç)) donc Opli.(Ç 2 ) = (Opli.(Ç)) 2 =
-fi 2 !:l.. On déduit (17). A partir de (32)) on vérifie aussi que Opli.(a) =
(Opn(a))* (adjoint).
Voici trois propriétés générales de la procédure de quantification
qui seront utiles dans la suite.
Proposition 1.21 ([Zwo12]) .
• Composition d'opérateurs et produit de symboles : Pour tout
a, b E .9'(JR 2 d) on a pour fi« 1 (le reste est en norme opérateur)
(35)
• Commutateurs d'opérateurs et crochets de Poisson de symboles (15) :
(36) [c-~)Opn(a), (-~)Opli(a)J = (-~)Opli({a,b}) (1 + O(fi)) .
• Trace d'opérateurs :
(37)
Comme exemple très simple mais important de (36), on calcule
que x(-ififœ)'t/J- (-ififx)(x't/J) = ifi't/J et par ailleurs {x,Ç} = 1. Cela
s'écrit: [C-*)Opli.(x), (-*)Opli.(ç)] = (-*)Opn({x,Ç}).
1.2.h. Théorème d'Egorov, voir le texte de Clotilde Fermanian Kammerer (ce volume). Nous allons voir maintenant avec le théorème
d'Egorov, l'intérêt de la quantification de Weyl : à la limite semiclassique fi -t 0, pour un hamiltonien H(x, Ç) assez général et pour un
intervalle de temps t borné, les ondes quantiques régies par l'équation
de Schrodinger se déplacent approximativement comme des particules
régies par les équations de Hamilton classiques. Cette approximation
est d'autant plus valable que fi « 1, c'est-à-dire que Wx = Ç/fi » 1.
En physique, la petite valeur de fi à l'échelle humaine explique qu'il
ait fallu attendre le xxe siècle pour découvrir les effets subtils de la
mécanique quantique car se manifestant à l'échelle des atomes.