INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 23
1.2.g. Quantification de Weyl, voir le texte de Clotilde Fermanian
Kammerer (ce volume). Pour une fonction a(x, Ç) E ..9'(R. 2 d) quelconque, que l'on appelle symbole(IS), sur l'espace des phases, on associe un opérateur Opli.(a) : ..9'(R.d) ~ ..9'(R.d) appelé opérateur pseudodifférentiet16> obtenu par la règle de quantification de Weyl suivante
[Zwo12, lemme 4.10] [Tayllb] :
(32) Opli.(a) := (~)2d j(.ff:a)(wx,wç)ei(w"'x+weOP!i(ŒdMJxdMlç,
où §a est la transformée de Fourier de a :
(33)
(.ff:a)(wx,wç) = (~) 2 d j a(z,Ç)e-i(w"'z+weÇ)dzdÇ,
de sorte que, par transformation de Fourier inverse,
( c) _
1
je t5l:' )(
) i(w"'x+weÇ),J .. ,J ••
a x,._ - (v'2?f) 2 d
.:ra Wx,wç e
u.wxu.wç,
et où (32) fait apparaître des opérateurs que l'on a vus dans (28) :
(34)
(ei(w"'x+we0P!i(Œ1fJ)(x) = eiw"'x+~li.wew"''l/J(x + fi.wç).
On peut en déduire une expression équivalente et plus habituelle pour
la quantification de Weyl( 17 )
(Opli.(a)'ljJ)(x) = (2:fi)d j a(x; y' Ç )eiÇ·(x-y)/li.1/J(y)dydÇ.
< 15 >.9"(JR 2 d) c G 00 (JR 2 d) désigne l'espace de Schwartz formé par les fonctions lisses
qui décroissent très vite (et de même pour leurs dérivées). Il n'a pas une grande
importance pour la compréhension de cet exposé
< 16 >En physique les opérateurs Op 11 (a) sont appelés observables. Par exemple, la
position Op 11 (x), l'impulsion Op 11 (Ç), l'énergie Op 11 (H(x,Ç)) sont des observables.
(17)0n utilise la transformée de Fourier (33), on fait le changement de variable
we f-t y= x + /ù,;e et fad lfuJ"'eiw.,(~("'+ 11 >-z> = (211')do(!(x +y) - z),
(Opli(a)'l/l)(x)
= _1_ / (ja(z Ç)e-i(w.,z+wEE>dzdÇ)(ei(w.,:JJ+wEOp,.({)}1/l)(x)lfuJ"'lUùe
(32) (211' )2d
,
= _1_ / (ja(z Ç)e-i(w.,z+wEE>dzdÇ)eiw.,:JJ+illwEw"''l/l(x + /ù,; )lfuJ"'lfuJ
(34) (211' )2d
,
E
E
= n,-d J ( J a( !ex+ y) Ç)e-i((y-:JJ){/li)dÇ)w(y)dy
(211')d
2
,
1.2.g. Quantification de Weyl, voir le texte de Clotilde Fermanian
Kammerer (ce volume). Pour une fonction a(x, Ç) E ..9'(R. 2 d) quelconque, que l'on appelle symbole(IS), sur l'espace des phases, on associe un opérateur Opli.(a) : ..9'(R.d) ~ ..9'(R.d) appelé opérateur pseudodifférentiet16> obtenu par la règle de quantification de Weyl suivante
[Zwo12, lemme 4.10] [Tayllb] :
(32) Opli.(a) := (~)2d j(.ff:a)(wx,wç)ei(w"'x+weOP!i(ŒdMJxdMlç,
où §a est la transformée de Fourier de a :
(33)
(.ff:a)(wx,wç) = (~) 2 d j a(z,Ç)e-i(w"'z+weÇ)dzdÇ,
de sorte que, par transformation de Fourier inverse,
( c) _
1
je t5l:' )(
) i(w"'x+weÇ),J .. ,J ••
a x,._ - (v'2?f) 2 d
.:ra Wx,wç e
u.wxu.wç,
et où (32) fait apparaître des opérateurs que l'on a vus dans (28) :
(34)
(ei(w"'x+we0P!i(Œ1fJ)(x) = eiw"'x+~li.wew"''l/J(x + fi.wç).
On peut en déduire une expression équivalente et plus habituelle pour
la quantification de Weyl( 17 )
(Opli.(a)'ljJ)(x) = (2:fi)d j a(x; y' Ç )eiÇ·(x-y)/li.1/J(y)dydÇ.
< 15 >.9"(JR 2 d) c G 00 (JR 2 d) désigne l'espace de Schwartz formé par les fonctions lisses
qui décroissent très vite (et de même pour leurs dérivées). Il n'a pas une grande
importance pour la compréhension de cet exposé
< 16 >En physique les opérateurs Op 11 (a) sont appelés observables. Par exemple, la
position Op 11 (x), l'impulsion Op 11 (Ç), l'énergie Op 11 (H(x,Ç)) sont des observables.
(17)0n utilise la transformée de Fourier (33), on fait le changement de variable
we f-t y= x + /ù,;e et fad lfuJ"'eiw.,(~("'+ 11 >-z> = (211')do(!(x +y) - z),
(Opli(a)'l/l)(x)
= _1_ / (ja(z Ç)e-i(w.,z+wEE>dzdÇ)(ei(w.,:JJ+wEOp,.({)}1/l)(x)lfuJ"'lUùe
(32) (211' )2d
,
= _1_ / (ja(z Ç)e-i(w.,z+wEE>dzdÇ)eiw.,:JJ+illwEw"''l/l(x + /ù,; )lfuJ"'lfuJ
(34) (211' )2d
,
E
E
= n,-d J ( J a( !ex+ y) Ç)e-i((y-:JJ){/li)dÇ)w(y)dy
(211')d
2
,