INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 21
comprendre l'effet de w, considérons la fi-transformée de FourierC 11 >
de 1/Jt :
(§n'l/Jt)(f.) := (~)d kd e-it;,x/li,,pt(x)dx.
L'équation (28) donne :
(29)
(§n'l/Jt)(Ç) = e-iv(t;,t-~wt2)/li(§n1/Jo)(Ç - wt)
qui montre que la fonction l§n'l/Jtl (Ç) = l(§n'l/Jo)(Ç - wt)I se déplace
à la vitesse w selon Ç. Voir figure 7.
Ce petit modèle justifie à posteriori le principe de correspondance
car avec le hamiltonien (26), l'onde se déplace comme une particule
avec la vitesse "f/ = (v, w) sur l'espace des phases (en fait vitesse v
en x et vitesse w en Ç après transformée de Fourier). De plus il
montre la signification de l'impulsion Ç : elle intervient dans l'expression e-it;,x/li = e-iw.,x et on peut donc dire que Wx = kf. est une
fréquence spatiale< 12 >. Pour un hamiltonien quelconque H(x, Ç), le
champ de vecteur "f/ n'est pas uniforme mais l'idée du calcul semiclassique est de montrer qu'à la limite fi -t O, on peut considérer
que "f/ est localement constant dans l'espace des phases (x,Ç) (on dit
micro-localement) ; on se ramène à ce modèle simple où le principe de
correspondance est valide. Dans le calcul semi-classique, on calcule les
corrections à cette approximation sous la forme d'un developpement
en fi.
1.2.f. Paquet d'onde gaussien et principe d'incertitude. Les équations (28) et (29) montrent dans un modèle simple que les ondes se
déplacent comme une particule. Cependant une particule classique est
localisée en espace x et en vitesse (c'est-à-dire que sa vitesse a une
valeur précise) alors que l'onde 1/Jt ( x) décrite ci-dessus est arbitraire
et peut être «très délocalisée». Un paquet d'onde gaussien est une
forme d'onde la plus localisée possible en x et en Ç. Soit (x 0 , Ç 0 ) E R. 2 d
point de l'espace des phases et u >O. On considère le paquet d'onde
gaussien
(30)
< 11 >1nversement
< 12 >en langage de la géométrie différentielle, l'impulsion e est un vecteur cotangent.
comprendre l'effet de w, considérons la fi-transformée de FourierC 11 >
de 1/Jt :
(§n'l/Jt)(f.) := (~)d kd e-it;,x/li,,pt(x)dx.
L'équation (28) donne :
(29)
(§n'l/Jt)(Ç) = e-iv(t;,t-~wt2)/li(§n1/Jo)(Ç - wt)
qui montre que la fonction l§n'l/Jtl (Ç) = l(§n'l/Jo)(Ç - wt)I se déplace
à la vitesse w selon Ç. Voir figure 7.
Ce petit modèle justifie à posteriori le principe de correspondance
car avec le hamiltonien (26), l'onde se déplace comme une particule
avec la vitesse "f/ = (v, w) sur l'espace des phases (en fait vitesse v
en x et vitesse w en Ç après transformée de Fourier). De plus il
montre la signification de l'impulsion Ç : elle intervient dans l'expression e-it;,x/li = e-iw.,x et on peut donc dire que Wx = kf. est une
fréquence spatiale< 12 >. Pour un hamiltonien quelconque H(x, Ç), le
champ de vecteur "f/ n'est pas uniforme mais l'idée du calcul semiclassique est de montrer qu'à la limite fi -t O, on peut considérer
que "f/ est localement constant dans l'espace des phases (x,Ç) (on dit
micro-localement) ; on se ramène à ce modèle simple où le principe de
correspondance est valide. Dans le calcul semi-classique, on calcule les
corrections à cette approximation sous la forme d'un developpement
en fi.
1.2.f. Paquet d'onde gaussien et principe d'incertitude. Les équations (28) et (29) montrent dans un modèle simple que les ondes se
déplacent comme une particule. Cependant une particule classique est
localisée en espace x et en vitesse (c'est-à-dire que sa vitesse a une
valeur précise) alors que l'onde 1/Jt ( x) décrite ci-dessus est arbitraire
et peut être «très délocalisée». Un paquet d'onde gaussien est une
forme d'onde la plus localisée possible en x et en Ç. Soit (x 0 , Ç 0 ) E R. 2 d
point de l'espace des phases et u >O. On considère le paquet d'onde
gaussien
(30)
< 11 >1nversement
< 12 >en langage de la géométrie différentielle, l'impulsion e est un vecteur cotangent.