INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 17
avec la constante de normalisation ll?/illL2(JR3) := (JJRa l?/i(x)l 2 dx) 1 1 2 .
Autrement dit la densité de probabilité est ll'l/lll 1
l.,P(x)l 2 dx. Noter
L2(JR3)
que grâce au préfacteur l/ll?/illL2(1Ra), et comme attendu, la probabilité
sur tout l'espace est P(R. 3 ) = 1. Notons aussi que le résultat P(U) est
inchangé si on modifie .,P ---+ >...,p avec>.. E C . . . . . . _ {O}. Cette invariance est
aussi vraie pour l'équation d'évolution (17) qui est linéaire. Donc il est
plus pratique de supposer que les fonctions d'ondes sont normalisées,
c'est-à-dire ll?/illi2 = (.,Pl.,P) = 1, ce que l'on fera dans la suite.
Ce résultat étonnant (22) (appelé principe de la mesure) montre
que pour une unique expérience, la théorie quantique ne prédit rien.
Elle ne peut prédire que des moyennes sur des grands nombres. En
physique, on parle de hasard quantique intrinsèque. Par exemple la
position moyenne de la particule (x) E R. 3 est donnée par
(23)
(x) := j x l'l/i(x)l 2 dx = (.,Plx.,P).
Dans ce principe de la mesure il est aussi postulé qu'après une mesure
où la particule a été détectée dans un domaine U c R. 3 , alors la nouvelle fonction d'onde est supportée sur U. Cela s'appelle le collapse
de la fonction d'onde ou réduction du paquet d'onde.
La relation (23) est en fait plus générale. Par exemple, pour une
mesure de l'énergie, la valeur moyenne prédite est donnée par
et il est postulé en physique que cela est valable pour toutes les observables de la forme Opli(a) (voir (32)). Ce postulat de la mesure est en
accord remarquable avec toutes les expériences de physique menées
jusqu'à ce jour.
1.2.c. L'expérience des doubles fentes de Young. Voir figure 5. Il
s'agit d'une des expériences les plus intrigantes de mécanique quantique mettant en valeur la dualité onde-corpuscule, très simple en
principe mais suscitant des questions d'interprétation qui n'ont pas
vraiment de réponse. En rapport avec cette expérience qu'il commente dans son chapitre 1, Richard Feynman [Fey63] (physicien notoire dans l'élaboration de la mécanique quantique) a écrit« Personne
ne comprends la mécanique quantique ».
1.2.d. Équation de Schrodinger stationnaire. Comme l'opérateur
hamiltonien Opli(H) défini par (20) est linéaire, il est na~urel, dans
avec la constante de normalisation ll?/illL2(JR3) := (JJRa l?/i(x)l 2 dx) 1 1 2 .
Autrement dit la densité de probabilité est ll'l/lll 1
l.,P(x)l 2 dx. Noter
L2(JR3)
que grâce au préfacteur l/ll?/illL2(1Ra), et comme attendu, la probabilité
sur tout l'espace est P(R. 3 ) = 1. Notons aussi que le résultat P(U) est
inchangé si on modifie .,P ---+ >...,p avec>.. E C . . . . . . _ {O}. Cette invariance est
aussi vraie pour l'équation d'évolution (17) qui est linéaire. Donc il est
plus pratique de supposer que les fonctions d'ondes sont normalisées,
c'est-à-dire ll?/illi2 = (.,Pl.,P) = 1, ce que l'on fera dans la suite.
Ce résultat étonnant (22) (appelé principe de la mesure) montre
que pour une unique expérience, la théorie quantique ne prédit rien.
Elle ne peut prédire que des moyennes sur des grands nombres. En
physique, on parle de hasard quantique intrinsèque. Par exemple la
position moyenne de la particule (x) E R. 3 est donnée par
(23)
(x) := j x l'l/i(x)l 2 dx = (.,Plx.,P).
Dans ce principe de la mesure il est aussi postulé qu'après une mesure
où la particule a été détectée dans un domaine U c R. 3 , alors la nouvelle fonction d'onde est supportée sur U. Cela s'appelle le collapse
de la fonction d'onde ou réduction du paquet d'onde.
La relation (23) est en fait plus générale. Par exemple, pour une
mesure de l'énergie, la valeur moyenne prédite est donnée par
et il est postulé en physique que cela est valable pour toutes les observables de la forme Opli(a) (voir (32)). Ce postulat de la mesure est en
accord remarquable avec toutes les expériences de physique menées
jusqu'à ce jour.
1.2.c. L'expérience des doubles fentes de Young. Voir figure 5. Il
s'agit d'une des expériences les plus intrigantes de mécanique quantique mettant en valeur la dualité onde-corpuscule, très simple en
principe mais suscitant des questions d'interprétation qui n'ont pas
vraiment de réponse. En rapport avec cette expérience qu'il commente dans son chapitre 1, Richard Feynman [Fey63] (physicien notoire dans l'élaboration de la mécanique quantique) a écrit« Personne
ne comprends la mécanique quantique ».
1.2.d. Équation de Schrodinger stationnaire. Comme l'opérateur
hamiltonien Opli(H) défini par (20) est linéaire, il est na~urel, dans