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FRÉDÉRIC FAURE
est essentiellement auto-adjoint (RS78, HS96] et que l'équation de
Schrôdinger (17) admet une solution que l'on peut écrire< 8 ) :
(21)
'l/Jt = U(t)'l/Jo,
U(t) =exp ( - ~tOpli(H)).
où plus précisément U(t), t E Ill, est un groupe d'opérateurs unitaires
sur L 2 (R 3 ) qui est la solution unique de :
U(O) =Id,
dU
i
dt= ( - n,0P1i(H) )u.
Présenté ainsi, le principe de correspondance parait être un « jeu
d'écriture» et on ne comprends pas quel rapport il peut y avoir
entre la mécanique classique et la mécanique quantique à part ce
« jeu d'écriture ». Pour justifier plus cela, nous montrerons plus
loin avec la quantification de Weyl et le théorème d'Egorov que les
ondes quantiques régies par l'équation de Schrôdinger se déplacent
approximativement comme des particules régies par les équations
de Hamilton classiques. Cette approximation est d'autant plus valable que l'on observe les ondes à grande échelle (par rapport aux
échelles atomiques où fi ~ 1). En physique, la petite valeur de fi
à l'échelle humaine explique qu'il ait fallu attendre le xx 0 siècle
pour découvrir les effets subtils de la mécanique quantique qui se
manifestent à l'échelle des atomes. En mathématique cette correspondance classique-quantique s'appelle l'analyse semi-classique ou
analyse micro-locale [Zwo12, Tayllb, chap. 7]. Voir la page web (Fau]
pour des animations commentées d'ondes quantiques.
1.2.b. Signification physique et probabiliste de la fonction d'onde
'lfJ(x) [BJ89]. En physique, la fonction d'onde 'lfJ(x) a une signification
probabiliste : si une même expérience est répétée un grand nombre
de fois et produit une particule toujours dans le même état décrit
par la fonction 'lfJ(x) alors cela signifie que la probabilité de détecter
expérimentalement la particule dans le domaine U c R 3 de l'espace
est:
(22)
1
1 2
P(U) = ll' l/Jll
11/J(x)I dx,
L2(JR3) U
(S)En effet en dérivant (21) par rapport à t, on retrouve (17).