INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 15
avec 1ï = 1, 05 · 10- 34 J.s. appelée constante de Planck( 6 ) et Opn,(H)
est un opérateur linéaire< 7 ) appelé opérateur hamiltonien défini par
(18)
avec
(19)
Opn,(Ç) = -in( 8 ~ 1 , ••• , 8 ~) == -in :x,
qui s'appelle l'opérateur impulsion et V(x) qui est l'opérateur de multiplication 'lfJ(x) i-t V(x)'lfJ(x).
Dans (18), on a utilisé la notation de produit scalaire d'opérateurs
vectoriels :
Ainsi Opn,(H)'l/J est la fonction :
1
d a2' 1/J
(20) (Opn,(H)'l/J)(x)= 2 m (-1ï 2 .6.'l/J)(x) + V(x)'l/J(x), .6.1/J:= t; axr
Noter que Opn,(H) se déduit du hamiltonien classique H défini par
l'équation (4) en substituant la variable impulsion Ç par l'opérateur
impulsion Opn,(Ç). Cela s'appelle le principe de correspondance que
l'on discutera par la suite.
Remarque 1.19. L'espace de Hilbert .Yt' = L 2 (Rd) est muni du produit
scalaire L 2 défini pour 1/J,

(1/Jl'Ph2 := [ 'l/J(x)c.p(x)dx
lJRd
donnant la norme (carré)
ll'l/Jlli2 := (1/Jl' l/J) = [ l'l/J(x)l 2 dx.
lJRd
Pour la suite, il sera important de remarquer que (pour certaines
fonctions V) sur cet espace fonctionnel L 2 (R 3 ), l'opérateur Opn,(H)
< 5 > Attention, en physique on pose h = 27rli alors que dans les ouvrages de mathématiques il est habituel de noter h cette même constante li.
< 1 >nans les ouvrages de physique il est habituel de noter Éi = Opli.(H).