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FRÉDÉRIC FAURE
Alors d'une part
w("f/ •) = '"""'"f/.. ·dd - "Yt: ·dxi
'
L...J x,3 .,,
.. ,J
j
et d'autre part
'"""'âH . âH
·
dH = ~ âÇi dÇJ + âxi dx3.
3
L'identité (16)) donne bien "Yx,; = âH/âÇi et -1/ç,; = âH/âxi qui
sont les équations de Hamilton (5).
D
Cette formulation faisant intervenir la géométrie symplectique peut
paraître surprenante. Elle laisse en fait soupçonner que la mécanique
quantique ondulatoire est « cachée » derrière la mécanique classique.
Nous verrons dans la section suivante avec le théorème d'Egorov que
la mécanique classique s'obtient à partir de la mécanique quantique
ondulatoire à la limite des petites longueurs d'ondes (li -+ 0). Par
ailleurs il y a une formulation géométrique de cette limite dans le
cadre de la quantification géométrique (Woo92] qui montre explicitement que la forme symplectique w classique provient directement de
la forme symplectique canonique sur le projectif ]p>(.Jf!') de l'espace de
Hilbert quantique .Jf!'.
1.2. Mécanique quantique
1.2.a. Équation de Schrodinger. Il est apparu dès le x1xe siècle que
de nombreux phénomènes de la physique ne trouvaient pas d'explications avec la mécanique classique. De nouvelles idées apparaissent
progressivement (loi du corps noir par Planck 1900, effet photo électrique par Einstein 1905) et en 1925 Schrôdinger propose une théorie
ondulatoire pour des ondes de matière, que l'on appelle la mécanique
quantique. Dans cette théorie, une particule élémentaire est modélisée par une fonction d'onde 'l/Jt(x) E 0 00 (R 3 ) qui est une fonction à
valeur complexes sur l'espace des x E R. 3 qui évolue en temps t ER
selon l'équation de Schrodinger.
Définition 1.18. L'équation de Schrôdinger est l'analogue de l'équation
de Newton (ou de Hamilton) en mécanique classique et s'écrit:
(17)
FRÉDÉRIC FAURE
Alors d'une part
w("f/ •) = '"""'"f/.. ·dd - "Yt: ·dxi
'
L...J x,3 .,,
.. ,J
j
et d'autre part
'"""'âH . âH
·
dH = ~ âÇi dÇJ + âxi dx3.
3
L'identité (16)) donne bien "Yx,; = âH/âÇi et -1/ç,; = âH/âxi qui
sont les équations de Hamilton (5).
D
Cette formulation faisant intervenir la géométrie symplectique peut
paraître surprenante. Elle laisse en fait soupçonner que la mécanique
quantique ondulatoire est « cachée » derrière la mécanique classique.
Nous verrons dans la section suivante avec le théorème d'Egorov que
la mécanique classique s'obtient à partir de la mécanique quantique
ondulatoire à la limite des petites longueurs d'ondes (li -+ 0). Par
ailleurs il y a une formulation géométrique de cette limite dans le
cadre de la quantification géométrique (Woo92] qui montre explicitement que la forme symplectique w classique provient directement de
la forme symplectique canonique sur le projectif ]p>(.Jf!') de l'espace de
Hilbert quantique .Jf!'.
1.2. Mécanique quantique
1.2.a. Équation de Schrodinger. Il est apparu dès le x1xe siècle que
de nombreux phénomènes de la physique ne trouvaient pas d'explications avec la mécanique classique. De nouvelles idées apparaissent
progressivement (loi du corps noir par Planck 1900, effet photo électrique par Einstein 1905) et en 1925 Schrôdinger propose une théorie
ondulatoire pour des ondes de matière, que l'on appelle la mécanique
quantique. Dans cette théorie, une particule élémentaire est modélisée par une fonction d'onde 'l/Jt(x) E 0 00 (R 3 ) qui est une fonction à
valeur complexes sur l'espace des x E R. 3 qui évolue en temps t ER
selon l'équation de Schrodinger.
Définition 1.18. L'équation de Schrôdinger est l'analogue de l'équation
de Newton (ou de Hamilton) en mécanique classique et s'écrit:
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