INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 13
Remarquons qu'en utilisant le théorème de Liouville 1.13, la probabilité totale est conservée :
j (.fétf)dx dÇ = j (! o
(14)
d(.fétf) = {H f}
dt
'
'
où
(15)
âHâf âHâf
{H,f} := âx âÇ - 8[ âx'
s'appelle le crochet de Poisson des fonctions H, f.
Démonstration. On calcule :
d(.fétf) = d(f o-t)ç
dt
{13))
dt
âx
dt
âÇ
dt
âf( dx)
âf( dÇ)
(1~)) âx - dt + âÇ - dt
âf( âH)
âf( ( âH))
W âx - 8[ + âÇ - - âx = {H, f} · D
Remarque 1.17. Le formalisme de la mécanique classique hamiltonienne qui vient d'être esquissé possède une formulation en géométrie
différentielle très intéressante et très utile appelée géométrie symplectique. Nous renvoyons à [Arn76] [Taylla, Secl.14] pour une introduction proche de la physique et [CanOl, MS98, GS90, GS77] pour plus
d'approfondissements. Le point de départ de cette approche est que
les équations de Hamilton (5) sur R. 2 d peuvent s'exprimer de façon
géométrique, c'est-à-dire indépendamment du système de coordonnées, de la façon suivante. On introduit la 2-forme w := E1=l dxi /\dÇi
sur R. 2 d appelée forme symplectique. Alors le champ de vecteur de
Hamilton "f/ est déterminé par l'équation
(16)
w("f/,•) = dH,
où dH est la différentielle de la fonction H(x, Ç).
Démonstration. En coordonnées on note
d
â
â
"f/ = ?= "//x,j âxi + J/ç,j acj .
J=l
. , ,
Remarquons qu'en utilisant le théorème de Liouville 1.13, la probabilité totale est conservée :
j (.fétf)dx dÇ = j (! o
(14)
d(.fétf) = {H f}
dt
'
'
où
(15)
âHâf âHâf
{H,f} := âx âÇ - 8[ âx'
s'appelle le crochet de Poisson des fonctions H, f.
Démonstration. On calcule :
d(.fétf) = d(f o
dt
{13))
dt
âx
dt
âÇ
dt
âf( dx)
âf( dÇ)
(1~)) âx - dt + âÇ - dt
âf( âH)
âf( ( âH))
W âx - 8[ + âÇ - - âx = {H, f} · D
Remarque 1.17. Le formalisme de la mécanique classique hamiltonienne qui vient d'être esquissé possède une formulation en géométrie
différentielle très intéressante et très utile appelée géométrie symplectique. Nous renvoyons à [Arn76] [Taylla, Secl.14] pour une introduction proche de la physique et [CanOl, MS98, GS90, GS77] pour plus
d'approfondissements. Le point de départ de cette approche est que
les équations de Hamilton (5) sur R. 2 d peuvent s'exprimer de façon
géométrique, c'est-à-dire indépendamment du système de coordonnées, de la façon suivante. On introduit la 2-forme w := E1=l dxi /\dÇi
sur R. 2 d appelée forme symplectique. Alors le champ de vecteur de
Hamilton "f/ est déterminé par l'équation
(16)
w("f/,•) = dH,
où dH est la différentielle de la fonction H(x, Ç).
Démonstration. En coordonnées on note
d
â
â
"f/ = ?= "//x,j âxi + J/ç,j acj .
J=l
. , ,