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FRÉDÉRIC FAURE
Définition 1.12. Avec les notations précédentes le flot hamiltonien est
la famille d'applications pour t E lR :
{12)
{
JR2d
----+ 1R2d
(c'est un groupe à un paramètre). Voir figure 1.
Théorème 1.13 (de Liouville). Le flot hamiltonien Démonstration. Autrement dit, il faut montrer que le champ de vecteur"//= (yt, -9/x-) défini en (5) est de divergence nulle :
D
Proposition 1.14 (conservation de l'énergie). Si la fonction H est indépendante de t (c'est-à-dire H est seulement fonction de (x, Ç)J alors
la valeur E = H(x(t), Ç(t)) appelée énergie est constante le long d'une
trajectoire.
Démonstration. On écrit :
dH(x(t), Ç(t)) = (aH) dx (aH) dÇ = (- dÇ) dx (dx) dÇ =o.
dt
ax dt + aç dt (5)
dt dt + dt dt
D
Au lieu de considérer l'évolution d'un point (x(t), Ç(t)) sur l'espace
des phases, nous verrons qu'il est naturel et instructif de considérer
plus généralement l'évolution d'un nuage de points ou d'une distribution lisse de points, que l'on modélise par une distribution de probabilité f (x, Ç)dx dÇ sur l'espace des phases, où f est une fonction
lisse appelée densité de probabilité. L'hypothèse que f est lisse revient à s'intéresser à presque tous les points, c'est-à-dire sauf à un
sous-ensemble de mesure nulle.
Définition 1.15. L'opérateur de Liouville exprime l'évolution d'une distribution de probabilité sur l'espace des phases au temps t E lR :
{13)
{
coo(JR2d) ----+ coo(JR2d)
2t:
f t---+ 2tf := f 0