INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 11
lesquelles chaque espace ( co-)tangent est muni d'un produit scalaire.
L'espace des phases est ici le fibré cotangent T* .5", qui est une variété
de dimension 2 dim .5" = 4 .
• [Taylla, p. 47] Si A = x(O) et B = x(t) sont deux points
de la même géodésique, alors parmi tous les chemins paramétrés
'Y: ti-+x(t) qui joignent A et B au temps t, la géodésique est un
extremum local pour la fonctionnelle énergie C('Y) := JJ ! Il: 1 1
2 dt
et pour la fonctionnelle longueur l('Y) := JJ Il: I l dt (noter que l('Y)
est indépendant du paramétrage) .
FIGURE 4. (a) Géodésique sur une surface Y : le vecteur
vitesse v(t) = ~~ est solution de Px~~ = 0 où Px est le
projecteur orthogonal sur le plan tangent TxY au point x.
(b) En pratique une géodésique est obtenue en collant un
ruban de scotch « de façon la plus plate possible », ici sur un
vase ayant de la courbure de Gauss positive et négative.
1.1.c. Flot hamiltonien et crochets de Poisson. Nous précisons
quelques aspects de la dynamique hamiltonienne qui seront utiles
plus tard. Pour simplifier l'exposé, nous supposerons que pour
toutes conditions initiales données (x(O), Ç(O)) E Rd x Rd la solution
(x(t),Ç(t)) E Rd x Rd de (5) existe et est unique pour tout t E R
(le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit cela localement en temps
si V est lipschitzienne) .