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FRÉDÉRIC FAURE
Dans un deuxième temps, on considère la suite Un= 2n = 2 x Un-1
avec uo = 1. Par définition de kn, on a knlOr ~Un< (kn + l)lOr avec
r EN. Soit Xn := ~~i~ô mod 1. Alors Xn+I = Xn +a mod 1 avec< 4 >
_ log2 d lrll
log(kn) ~
log(kn + 1)
a - log 10 'F "lt. et log 10 "' Xn < log 10 '
"t
J
[log(kn) log(kn+l) [ C
1
"t
t
d"
SOI Xn E kn := log 10 , log 10 . omme a SUI e Xn es ergo ique
on déduit que
=
b (I) =III= llog(k + 1) _ log(k) 1=log(l+1/k) 0
Pk
pro a k
k
log 10
log 10
log(lO) ·
Exemple 1.11 (particule libre sur une surface, géodésiques)
Si .5" c R. 3 est une surface lisse, une particule de position x(t) E .5"
est dite libre de se déplacer sur la surface si la force qu'elle subit est
normale à sa surface (cette force est telle qu'elle impose à la particule
de rester sur la surface). Cela s'écrit donc :
( 11)
p dv = 0
X dt
avec la vitesse v = dx /dt E R. 3 et Px : R. 3 -t Tx.5" le projecteur orthogonal sur le plan tangent à la surface au point x. Voir figure 4(a). En
terme géométriques on note Dv/dt = 0, et D :=Pd s'appelle la dérivée covariante ou connexion de Levi-Civita. L'absence de force tangentielle fait que la particule va « le plus droit possible » en restant
sur la surface. Par définition, on dit que sa trajectoire est une géodésique<5>. Par exemple sur la sphère 8 2 c R. 3 les géodésiques sont les
grands cercles. Sur une surface plate (ou dans l'espace euclidien R_d),
les géodésiques sont des droites. On peut montrer [Taylla, Tayllb]
que
• [Taylla, p. 52] L'équation (11) a une unique solution x(t) E .5"
qui de plus est solution des équations de Hamilton (5) avec le hamiltonien H(x, Ç) = ! llÇll~·.9' d'une particule libre, qui fait apparaître
la norme du vecteur cotangent Ç E T; .5". Comme cette formulation
est intrinsèque et géométrique (c'est-à-dire invariante par changement
de coordonnées) elle s'adapte au cas des variétés riemanniennes, pour
< 4 >En effet si log 2/log 10 = p/q E Q alors 2q = 1QP = 2P5P ce qui implique
p = q = 0, donc impossible.
< 5 >Essayer de se convaincre et de démontrer que si l'on colle sans pli un ruban de
scotch (étroit) sur une surface alors il suit une géodésique.
FRÉDÉRIC FAURE
Dans un deuxième temps, on considère la suite Un= 2n = 2 x Un-1
avec uo = 1. Par définition de kn, on a knlOr ~Un< (kn + l)lOr avec
r EN. Soit Xn := ~~i~ô mod 1. Alors Xn+I = Xn +a mod 1 avec< 4 >
_ log2 d lrll
log(kn) ~
log(kn + 1)
a - log 10 'F "lt. et log 10 "' Xn < log 10 '
"t
J
[log(kn) log(kn+l) [ C
1
"t
t
d"
SOI Xn E kn := log 10 , log 10 . omme a SUI e Xn es ergo ique
on déduit que
=
b (I) =III= llog(k + 1) _ log(k) 1=log(l+1/k) 0
Pk
pro a k
k
log 10
log 10
log(lO) ·
Exemple 1.11 (particule libre sur une surface, géodésiques)
Si .5" c R. 3 est une surface lisse, une particule de position x(t) E .5"
est dite libre de se déplacer sur la surface si la force qu'elle subit est
normale à sa surface (cette force est telle qu'elle impose à la particule
de rester sur la surface). Cela s'écrit donc :
( 11)
p dv = 0
X dt
avec la vitesse v = dx /dt E R. 3 et Px : R. 3 -t Tx.5" le projecteur orthogonal sur le plan tangent à la surface au point x. Voir figure 4(a). En
terme géométriques on note Dv/dt = 0, et D :=Pd s'appelle la dérivée covariante ou connexion de Levi-Civita. L'absence de force tangentielle fait que la particule va « le plus droit possible » en restant
sur la surface. Par définition, on dit que sa trajectoire est une géodésique<5>. Par exemple sur la sphère 8 2 c R. 3 les géodésiques sont les
grands cercles. Sur une surface plate (ou dans l'espace euclidien R_d),
les géodésiques sont des droites. On peut montrer [Taylla, Tayllb]
que
• [Taylla, p. 52] L'équation (11) a une unique solution x(t) E .5"
qui de plus est solution des équations de Hamilton (5) avec le hamiltonien H(x, Ç) = ! llÇll~·.9' d'une particule libre, qui fait apparaître
la norme du vecteur cotangent Ç E T; .5". Comme cette formulation
est intrinsèque et géométrique (c'est-à-dire invariante par changement
de coordonnées) elle s'adapte au cas des variétés riemanniennes, pour
< 4 >En effet si log 2/log 10 = p/q E Q alors 2q = 1QP = 2P5P ce qui implique
p = q = 0, donc impossible.
< 5 >Essayer de se convaincre et de démontrer que si l'on colle sans pli un ruban de
scotch (étroit) sur une surface alors il suit une géodésique.