INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 9
FIGURE 3. Une trajectoire sur le tore T 2 = JR 2 /Z 2 illustrant le théorème 1.9. Les numéros successifs représentent
les points identifiés par les conditions périodiques. Si la pente
de eo est irrationnelle alors la trajectoire est dense et même
ergodique, sinon la trajectoire est périodique. Cependant un
nuage de points (ici un disque) garde sa forme en se translatant : la dynamique n'est pas mélangeante.
Corollaire 1.10 (loi de Benford). Soit kn E {1, 2 ... 9} le premier chiffre
de Un = 2n en base 10. On a Un = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
donc
kn = 1,2,4,8,1,3,6,1,2,5, ...
Alors dans cette suite (kn)n, un chiffre donné k E {1, ... , 9} apparaît avec la probabilité Pk = 10 f 0 !i~)k , soit P1 = 30%, P2 =
17%, ... , pg = 4.5%, avec la définition
Pk := lim Nl card{n::;;; NI kn = k}.
N-too
Démonstration. Dans un premier temps, comme dans le théorème 1.9,
on montre que si a fj. Q et xo E R alors la suite Xn = na+ xo mod 1 E
[O, 1[, n E N, est uniquement ergodique c'est-à-dire que pour toute
fonction a E C 0 ([0, 1[),
(10)
1 N
J
lim N L a(xn) = a(x)dx.
N-too
n=l
En considérant un intervalle I C [O, 1] de longueur III, et la fonction
caractéristique a(x) = 1 six E I, a(x) = 0 sinon (en fait on considère
une suite de fonctions continues qui approchent a), on a
N
L a(xn) = card {n::;;; N 1 Xn E I} et j a(x)dx =III,
n=l
donc (10) s'écrit simplement proba(I) := i, card{n::;;;N 1 XnEI} = IJI.