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FRÉDÉRIC FAURE
Le tore 'Il'd = 8 1 x · · · x 8 1 = Rd /zd est un produit de d cercles,
avec des coordonnées ( x1, ... , xd) E Rd /zd. On obtient de même le
mouvement à vitesse constante x(t) = Ç0 • t + xo avec Ço E Rd. Voir
figure 3. En dimension d = 1, il est clair que si Ço # 0, la trajectoire
recouvre tout le cercle 8 1 de façon uniforme. En dimension d ~ 2 on
peut se demander quelle partie de l'espace yd occupe une trajectoire.
Voici un résultat. Avant cela, on dit que Ço E Rd est un vecteur
irrationnel si, pour k E zd, Ço · k = 0 => k = O. En dimension
d = 2, cela signifie que ~Î~~~ ~ Q (pente irrationnelle). En dimension
quelconque cela signifie que l'hyperplan Çc} := {k E zd i Ço · k = O}
n'intersecte le réseau zd qu'en k = o.
Théorème 1.9 (d'équidistribution de Kronecker-Weyl, 1910)
Si Ço E Rd est un vecteur irrationnel alors la trajectoire x(t) =
Ç0 · t + x 0 est dense sur le tore 'll'd = Rd /zd et même uniquement
ergodique, c'est-à-dire que pour toute fonction a E C 0 (1l'd) et tout
point initial xo E ']['d,
(9)
lim Tl [T a(Ço · t + xo)dt = f a(x )dx,
T-+oo
Jo
}yd
c'est-à-dire la moyenne temporelle de a sur une trajectoire très longue
devient égale à sa moyenne spatiale.
Démonstration. Pour k E zd on considère la fonction 'Pk(x) :=
exp( i27rk · x) appelée mode de Fourier. D'après la théorie de Fourier
on peut décomposer la fonction a en série de Fourier a = Ek ak'Pk
avec les coefficients de Fourier ak = fyd 'Pk(x)a(x)dx. Si k # 0 alors
k · Ço # 0 et
1 {T
1 {T
T lo 'Pk(Ço · t + xo)dt = T lo exp(i27rk · (Ç0 • t + xo))dt
i271"k·:i:o 1
1
[ ( '2 k t: t)jT
0
= e
T . 2 k 1: exp i 7r · <:.O 0 --t .
i 7r · <,,O
T-+oo
Par ailleurs pour le mode k = 0, on a ~ J[ cpo(Ço · t + xo)dt = 1. Ainsi
lim Tl [T a(Ço · t + xo)dt = lim L akTl [T 'Pk(Ço · t + xo)dt
T-+oo
Jo
T-+oo k
Jo
= ao = f a(x)dx.
D
}yd
Voici une application de l'unique ergodicité.