INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 7
avec V(O) =O. Par développement de Taylor, on écrit :
1
V(x) = 2 kx 2 + O(x 3 )
avec k = ' fx1' (0) > O. En ne gardant que ce premier terme (comme
première approximation) le hamiltonien s'écrit :
1
1
(7)
H(x, Ç) = 2 m ç2 + 2 kx 2
et s'appelle le modèle de l'oscillateur harmonique. Les trajectoires
sont des ellipses dans l'espace des phases< 3 >, voir figure 2.
X
FIGURE 2. Une trajectoire de l'oscillateur harmonique dans
l'espace des phases. La position x(t) et la vitesse v(t) =
~~(t) oscillent en quadrature.
Exemple 1.8 (particule libre sur le cercle si ou le tore ']['d)
La position d'une particule sur le cercle est x E si := "R./Z (c'està-dire définie modulo les entiers). L'espace des phases (x, Ç) E si X IR
est un cylindre. On dit qu'une particule est libre si V = 0, car il
n'y a pas de force. Ainsi (en prenant m = 1) on a le hamiltonien
H(x, Ç) = ! IÇl 2 • Les équations de Hamilton (5) donnent
(B)
dx _ 8H _ Ç dÇ _ 8H _ O
dt - aç - ' dt - - ax - .
La solution est
Ç(t) = Ço =este, x(t) = Ço · t + xo.
Ainsi la particule se déplace sur le cercle si à vitesse constante Ç0
qui dépend de la condition initiale.
< 3 >Avec le changement de variables X:= J(kï2}x, Y:= f!./V'f.m et posant w :=
Jkïffl, Z =X+ iY, (5) se traduit par dZ/dt = -iwZ, qui donne le mouvement
de rotation Z(t) = Z(O)e-iwt.