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FRÉDÉRIC FAURE
soumise à la force d'attraction gravitationnelle de la part du Soleil
(situé en x = 0) :
u
F(x) = -C lxl2
avec u = x/lxl vecteur unitaire et C = r§ · m · ms avec la masse
du Soleil ms = 2 · 10 30 kg et la constante de gravitation universelle
r§ = 6, 67·10- 11 N.m 2 .kg- 2 • Cette force dérive de l'énergie potentielle
(6)
1
V(x) = -C j;j'
L'équation du mouvement obtenue est
d 2 x
1
u
- = -F(x) = -r§·ms-.
dt2
m
lxl2
Remarquer que curieusement la masse de la Terre n'y intervient pas.
Cela signifie que par exemple une poussière (ayant une autre masse)
qui serait à la place de la Terre (même position et même vitesse)
aurait la même trajectoire autour du Soleil. Cette remarque, appelée
principe d'équivalence, a conduit Einstein à la théorie de la relativité
où la gravitation n'est plus une force mais découle de la géométrie de
l'espace temps.
De façon analogue mais à une toute autre échelle, dans un atome
d'hydrogène, un électron de masse m = 9, 31 · 10- 31 kg est soumis à
la force de Coulomb de la part du proton
F(x) = -C' u 2 ,
lxl
V(x) = -C' _!_
lxl
avec C' = kcq · q où q = 1, 6 · 10- 19 c est la charge élémentaire de
l'électron et du proton et ka = 9 · 10 9 Nm 2 c- 2 est la constante de
Coulomb.
Dans ces deux problèmes, grâce à la forme particulière de V(x),
on peut résoudre exactement les équations du mouvement et obtenir
que les trajectoires de la planète (respectivement de l'électron) sont
des ellipses (ou paraboles ou hyperboles selon la condition initiale)
[Arn76].
Exemple 1.7 (puits de potentiel, oscillateur harmonique)
À une dimension d = 1 on s'intéresse à une particule près d'un
minimum local de l'énergie potentielle V(x) que l'on suppose en x = 0