INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 5
(xo,Ço)
~
' '
'..... ~',Champ de vecteurs
' \1"
\ \
\
1
FIGURE 1. Champ de vecteurs de Hamilton "fi' et flot hamiltonien
sur l'aspect antisymétrique assez particulier des équations de Hamilton (5) qui, d'une certaine façon, laisse déjà entrevoir la mécanique quantique ondulatoire. En 1833 Hamilton a utilisé au départ ces
équations pour exprimer l'optique géométrique des rayons, qui n'est
qu'une approximation de l'optique ondulatoire [GS77]. Nous verrons
de façon analogue que la mécanique classique est une approximation
de la mécanique quantique ondulatoire.
1.1.b. Exemples. Il faut savoir que pour les problèmes à un degré
de liberté, d = 1 (donc l'espace des phases est (x,Ç) E JR 2 de dimension 2), et H(x, Ç) indépendant de t, alors les équations du mouvement
sont solubles. En dimension plus grande elles ne le sont pas en général, sauf exceptions comme le problème à deux corps qui est soluble
car il se ramène en fait à un problème à un degré de liberté. Plus généralement ces problèmes solubles sont appelés systèmes intégrables
[Arn76]. L'étude du chaos à la section suivante sera au contraire
consacrée à l'étude des problèmes parmi les «plus simples » qui ne
sont pas solubles.
Exemple 1.6 (le problème à deux corps). C'est un système intégrable
d'importance historique car c'est par lui que Newton a écrit l'équation (1) en 1687. A l'échelle du système solaire, on peut considérer la
Terre comme un point de masse m = 6 · 10 24 kg à la position x E JR 3
(xo,Ço)
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'..... ~',Champ de vecteurs
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FIGURE 1. Champ de vecteurs de Hamilton "fi' et flot hamiltonien
sur l'aspect antisymétrique assez particulier des équations de Hamilton (5) qui, d'une certaine façon, laisse déjà entrevoir la mécanique quantique ondulatoire. En 1833 Hamilton a utilisé au départ ces
équations pour exprimer l'optique géométrique des rayons, qui n'est
qu'une approximation de l'optique ondulatoire [GS77]. Nous verrons
de façon analogue que la mécanique classique est une approximation
de la mécanique quantique ondulatoire.
1.1.b. Exemples. Il faut savoir que pour les problèmes à un degré
de liberté, d = 1 (donc l'espace des phases est (x,Ç) E JR 2 de dimension 2), et H(x, Ç) indépendant de t, alors les équations du mouvement
sont solubles. En dimension plus grande elles ne le sont pas en général, sauf exceptions comme le problème à deux corps qui est soluble
car il se ramène en fait à un problème à un degré de liberté. Plus généralement ces problèmes solubles sont appelés systèmes intégrables
[Arn76]. L'étude du chaos à la section suivante sera au contraire
consacrée à l'étude des problèmes parmi les «plus simples » qui ne
sont pas solubles.
Exemple 1.6 (le problème à deux corps). C'est un système intégrable
d'importance historique car c'est par lui que Newton a écrit l'équation (1) en 1687. A l'échelle du système solaire, on peut considérer la
Terre comme un point de masse m = 6 · 10 24 kg à la position x E JR 3