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FRÉDÉRIC FAURE
Il est préférable de transformer l'équation du deuxième ordre en
un système d'équations du premier ordre. Cela donne les équations
de Hamilton ci-dessous.
Définition 1.3. On supposera dans tout cet exposé que F(x, t) est
une force potentielle c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire sous la forme
particulière< 1 > :
(2)
F=-(::, . . . , ::) =: - ~:,
où V(x, t) est une fonction à valeurs réelles appelée énergie potentielle.
Considérons l'impulsion :
(3)
et introduisons la fonction réelle suivante, appelée hamiltonien (ou
énergie totale)
(4)
1
2
H(x, Ç, t) := 2 m IÇI + V(x, t) ER
(le premier terme 2 ~ IÇl 2 = !m ldx/dtl 2 s'appelle l'énergie cinétique).
Proposition 1.4 (équations de Hamilton, 1833). Les équations de
Newton (1) peuvent s'écrire sous la forme< 2 > :
(5)
dx(t)
âH
--;J,t = 7i[,
dÇ(t)
âH
dt - - âx'
déterminant un champ de vecteurs "f/ := (âH/âÇ, -âH/âx) sur
l'espace des phases (x, Ç) E Rd x Rd (figure 1).
Démonstration. On calcule :
âH
1
dx
âÇ wmçw dt'
_ âH = _ âV = F = m d 2 x = dÇ
âx (4) âx (2) (1) dt 2 (3) dt·
D
< 1 >Localement il est nécessaire et suffisant que rot(F) =O.
< 2 >La notation vectorielle 8H/8x désigne le vecteur (8H/8x1,. . .,8H/8xd), et
8H/8f. le vecteur (8H/8f.1, ... , 8H/8f.d)·