INTRODUCTION AU CHAOS CLASSIQUE ET AU CHAOS QUANTIQUE 3
1. Mécanique classique et mécanique quantique
1.1. Mécanique classique
On appelle mécanique classique l'ensemble des lois fondamentales
de la physique en général antérieures à la mécanique quantique mais
plus précisément les lois non quantiques. On discutera cette distinction plus précisément au paragraphe 1.2.b. En mécanique classique
les lois fondamentales sont :
• les loi de Newton et de Hamilton : elles définissent les équations
du mouvement pour les éléments de matière ou particules élémentaires soumises à différentes forces ;
• les lois de Maxwell : elles décrivent l'évolution des champs électromagnétiques et les forces qu'ils exercent sur la matière chargée.
Ensuite, avec la physique statistique (qui contient la thermodynamique), à partir de ces lois fondamentales, on peut décrire les milieux
continus comme les gaz, les fluides, les matériaux, les plasmas etc.
La théorie de la relativité d'Einstein (relativité restreinte en 1906
puis relativité générale 1916) est considérée aussi comme une théorie de la mécanique classique (car non quantique). Elle propose un
nouveau cadre théorique plus géométrique dans l'espace-temps pour
formuler les équations de mouvement de la matière et des champs
électromagnétiques.
1.1.a. Équations de mouvement. Notons x(t) E JRd la position d'une
particule à l'instant t E lR (il est habituel de considérer les dimensions
d'espaces d = 1, 2, 3). La fonction t E lR i-+ x(t) E JRd s'appelle la
trajectoire de la particule.
Définition 1.1 (loi de Newton 1687). La trajectoire d'une particule de
masse m > 0 et soumise à une force F(x, t) E JRd est déterminée par
l'équation différentielle ordinaire :
(1)
d 2 x
m dt 2 = F(x, t),
avec la donnée des conditions initiales de position x(O), et vitesse
dx/dt(O).
Remarque 1.2. D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz [Taylla], il
existe une solution unique à (1) si Fest une fonction lipschitzienne.