142
Ona
NALINI ANANTHARAMAN
111111=11111 2 11~ = L 1 L CkCm'
jEZ2 (k,m)eZ 2 xz 2
m-k=j
llkll 2 =llmll 2 =À
2
en appliquant la formule de Parseval à la fonction x t-+ lf(x)l 2 • Or,
on remarque qu'à j =/= 0 donné, l'ensemble
{(k,m) E Z 2 X Z 2 1 m - k = j, llkll 2 = llmll 2 =À}
a au plus deux éléments, et ceci quel que soit À. L'inégalité de CauchySchwarz donne alors
2
11/llÎ,4 ~ 1 L Ckckl + 2 L
L lckcml 2 ,
keZ 2
jeV,{o} (k,m)ez 2 xz 2
llkll 2 =À
m-k=j
llkll 2 =11mll 2 =À
le premier terme provenant du cas j = O. Enfin, toujours par Parseval
2
1 L CkCk' = ll/llÎ,2
kez 2
llkll 2 =À
2
et
2 L
L lckCml 2 ~ 2( L lckl 2 ) = 211/llÏ,2.
jez 2 ,{o} (k,m)eZ 2 xz 2
keZ2
m-k=j
llkll 2 =llmll 2 =À
On a ainsi prouvé que, pour toute fonction propre f du laplacien
sur ' 1l" 2 , on a
111111 ~ 311/11~·
Supposons, comme d'habitude, que ( propres normalisées dans L 2 : ll alors elles-mêmes de norme L 2 inférieure à 3 1 14, de sorte que, par
l'inégalité de Cauchy-Schwarz,
1 f.r 2 a(x)l 2 dxl ~ 3l/ 4 (f.r 2 1a(x)l 2 dx)
112
pour toute fonction a continue. Ainsi, si
f a(x)l }T2
}T2