LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
143
où v est une mesure positive sur ' ll." 2 , on obtient par passage à la limite
l'inégalité
l .h. 2 a(x)dv(x)I ::;; 3 1 / 4 (f.r 2 1a(x)l 2 dx)
112
pour toute fonction a continue. Ceci implique (théorème de Riesz)
qu'il existe une fonction p telle que dv(x) = p(x)dx, qui vérifie de
plus
[ lp(x)l2dx::;; 31/2.
J' lr2
La preuve du résultat de Bourgain et Jakobson [Jak97], selon lequel p est en fait un polynôme trigonométrique, passe par des arguments de théorie des nombres autrement plus élaborés.
4.4. Le stade
Terminons par quelques images de fonctions propres du stade, sousensemble de IR 2 formé d'un rectangle auquel on accole deux demidisques. Pour les ouverts bornés de JRd, dont le bord est suffisamment
régulier (et plus généralement, pour les variétés riemanniennes compactes à bord), le théorème 3.7 de diagonalisation reste valable, mais
il faut imposer une condition aux limites. Les plus courantes sont la
condition de Dirichlet,
nl8M = Ü
(on demande aux fonctions de s'annuler sur le bord de M) ou la
condition de Neumann
8vnl8M = 0
(on demande à la dérivée normale de s'annuler sur le bord de M).
Le théorème d'ergodicité quantique 3.9 a été étendu à cette situation par Gérard et Leichtnam [GL93]. Pour un ouvert de JRd, le flot
géodésique est le flot géodésique euclidien ((x,Ç) i-+ (x + tÇ,Ç)) tant
que la trajectoire ne touche pas le bord. Quand elle touche le bord,
elle se réfléchit à angle égal: c'est ce qu'on appelle en mathématiques
un billard. Des exemples de billards ergodiques, les billards dispersifs,
ont été décrits au§ 2.1 du texte de F. Faure (ce volume). Le billard
en forme de stade n'est pas dispersif, néanmoins Sinai et Bunimovich
ont pu démontrer à la fin des années 70 qu'il était ergodique. Ainsi,
le théorème 3.9 s'y applique.
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où v est une mesure positive sur ' ll." 2 , on obtient par passage à la limite
l'inégalité
l .h. 2 a(x)dv(x)I ::;; 3 1 / 4 (f.r 2 1a(x)l 2 dx)
112
pour toute fonction a continue. Ceci implique (théorème de Riesz)
qu'il existe une fonction p telle que dv(x) = p(x)dx, qui vérifie de
plus
[ lp(x)l2dx::;; 31/2.
J' lr2
La preuve du résultat de Bourgain et Jakobson [Jak97], selon lequel p est en fait un polynôme trigonométrique, passe par des arguments de théorie des nombres autrement plus élaborés.
4.4. Le stade
Terminons par quelques images de fonctions propres du stade, sousensemble de IR 2 formé d'un rectangle auquel on accole deux demidisques. Pour les ouverts bornés de JRd, dont le bord est suffisamment
régulier (et plus généralement, pour les variétés riemanniennes compactes à bord), le théorème 3.7 de diagonalisation reste valable, mais
il faut imposer une condition aux limites. Les plus courantes sont la
condition de Dirichlet,
(on demande aux fonctions de s'annuler sur le bord de M) ou la
condition de Neumann
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(on demande à la dérivée normale de s'annuler sur le bord de M).
Le théorème d'ergodicité quantique 3.9 a été étendu à cette situation par Gérard et Leichtnam [GL93]. Pour un ouvert de JRd, le flot
géodésique est le flot géodésique euclidien ((x,Ç) i-+ (x + tÇ,Ç)) tant
que la trajectoire ne touche pas le bord. Quand elle touche le bord,
elle se réfléchit à angle égal: c'est ce qu'on appelle en mathématiques
un billard. Des exemples de billards ergodiques, les billards dispersifs,
ont été décrits au§ 2.1 du texte de F. Faure (ce volume). Le billard
en forme de stade n'est pas dispersif, néanmoins Sinai et Bunimovich
ont pu démontrer à la fin des années 70 qu'il était ergodique. Ainsi,
le théorème 3.9 s'y applique.