LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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m = (2, 0, 0, ... , 0)). On a l(x)l 2 = 1 + cos(m • x) qui ne dépend
pas de k, et donc la mesure v correspondant à une telle famille est
dv(x) = (1 + cos(m • x))dx.
Bourgain et Jakobson [Jak97] ont démontré plus généralement
qu'une telle mesure v avait nécessairement une densité,
dv(x) = p(x)dx,
où p est une fonction positive d'intégrale 1. De plus, si l'on note p(k)
les coefficients de Fourier de p, on a
L l-P(k)ld-2 < +oo.
k
Ainsi, en dimension d = 2, p est un polynôme trigonométrique, en
dimension d = 3, p est une fonction continue ... De plus, un résultat
de Jaffard dit que fn p(x)dx > 0 pour tout ouvert non vide n c ']['d.
Ces résultats reposent sur la décomposition en série de Fourier (2) et
une étude fine des propriétés des points entiers sur les sphères. Les
articles [MaclO, AM14] donnent une nouvelle preuve de ces résultats,
qui s'appuie sur l'analyse micro-locale.
En dimension d = 2, il est assez aisé de démontrer l'existence d'une
densité p E L 2 (Td) telle que dv(x) = p(x)dx. Nous donnons ci-dessous
l'argument, dû à Zygmund [Zyg74]. Repartons de l'expression (2) des
fonctions propres :
(27)
f(x) = L Ckeik•x,
kEZd
llkll 2 =À
avec ici d = 2. On a alors
l/(x)l 2 =
Rappelons la notation
et introduisons aussi
k,mEZ 2
llkll 2 =llmll 2 =À