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NALINI ANANTHARAMAN
mesure µ possède une entropie qui est exactement la borne inférieure
du théorème de Anantharaman-Nonnenmacher [AN07].
Finalement, comment concilier le contre-exemple de Faure, Nonnenmacher et De Bièvre [FNDB03] et l'envie de croire à la conjecture
de Rudnick et Sarnak? On peut dire que la construction du modèle
quantique du chat paraît un peu spéciale, et croire que la conjecture
est valable pour des systèmes génériques, ce qui autorise des exceptions un peu spéciales.
4.3. Retour sur le cas du tore
Résumons la situation : sur la sphère on a une suite de fonctions
propres qui se concentre sur l'équateur. Sur une surface de courbure
négative une suite de fonctions propres ne peut pas se concentrer
complètement sur une géodésique fermée [AN07], et sur le tore une
suite de fonctions propres ne peut pas se concentrer du tout sur une
géodésique fermée.
Pour revenir au le cas du tore traité au § 1, on rappelle qu'on a
énoncé un théorème de type ergodicité quantique, valable seulement
pour des observables a(x) (théorème 1.4). Ce théorème nous donne
un comportement limite pour « la plupart » des fonctions propres
de ~Td· On peut à côté de cela poser la question de la description
du comportement asymptotique de suites quelconques de fonctions
propres : soit ( n) une suite quelconque de fonctions propres, vérifiant donc ~irdn = -Ànn, Àn --+ +oo, normalisées de sorte que
fTd ln(x)l 2 dx = 1. Un argument de compacité permet de trouver une
suite croissante d'entiers nk, et une mesure de probabilité li sur 'Jl'd,
tels que
lim (nk' ank) = f a(x)dll(x)
k-++oo
Jird
pour toute fonction a E C 0 ('Jl'd). Que peut-on dire d'une telle mesure li ? est-ce que li est nécessairement la mesure uniforme dx ?
La réponse est non : il suffit pour le voir de considérer des fonctions
propres de la forme
eik•x + ei(k-m)•x
_(x) =
v'2
avec m fixé, llkll --+ +oo, llkll = llk-mll (par exemple, si l'on choisit k
dont la première coordonnée est 1, ces relations sont vérifiées avec