LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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pour tout t, implique que
Jaot(x,w)µ(dx,dw) = Ja(x,w)µ(dx,dw)
pour tout a et pour tout t. Autrement dit, le mesure µ est invariante
par transport par le flot géodésique. Selon la conjecture d'unique ergodicité quantique, sur une variété compacte de courbure négative,
la seule mesureµ qu'on puisse obtenir de la sorte est la mesure uniforme, dVol(x)dux(w). Mais sans nécessairement chercher à démontrer la conjecture, on peut simplement vouloir comprendre certaines
propriétés de ces mesures µ. Par exemple, il y a beaucoup de géodésiques périodiques, est-ce que µ peut-être concentrée sur une telle
géodésique? Cette question, qui reste bien en deçà de la conjecture
d'unique ergodicité quantique, était ouverte jusqu'en 2005.
Les travaux de Anantharaman et Nonnenmacher [Ana08, AN07]
démontrent que l'entropie de Kolmogorov-Binai d'une telle mesure µ
est nécessairement non nulle, ce qui a pour conséquence que µ ne peut
pas être concentrée sur un ensemble de dimension de Hausdorff 1. Par
exemple, µ ne peut pas être concentrée sur une géodésique périodique
(notre résultat donne en fait une borne inférieure explicite sur la
dimension du support de µ).
Dans son texte, F. Faure a exposé le modèle du chat< 2 > qui constitue
le prototype du système dynamique chaotique; du point de vue de la
dynamique classique, ce système partage beaucoup de propriétés avec
le flot géodésique des variétés de courbure négative: la principale différence réside dans le fait que c'est un modèle à temps discret, alors
que le flot géodésique est un modèle à temps continu. Afin de tester
les conjectures sur un modèle simple, plusieurs auteurs ont construit
une version quantique du chat et ont montré une version du théorème d'ergodicité quantique dans ce cas (voir par exemple [BDB96]).
Faure, Nonnenmacher et De Bièvre [FNDB03] ont démontré que, pour
ce modèle, la conjecture d'unique ergodicité quantique n'est pas satisfaite : ils ont pu exhiber des suites de fonctions propres explicites
dont la répartition asymptotique n'est pas donnée par la mesure uniforme. Il est intéressant de constater que, sur ces contre-exemples, la
< 2 >ce nom fantaisiste n'a rien à voir avec l'expérience du chat de Schri:idinger.
Il vient d'un dessin paru dans le livre d'Arnold et Avez [AA67], qui représente
l'action de ce système dynamique sur une tête de chat.
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pour tout t, implique que
Jao
pour tout a et pour tout t. Autrement dit, le mesure µ est invariante
par transport par le flot géodésique. Selon la conjecture d'unique ergodicité quantique, sur une variété compacte de courbure négative,
la seule mesureµ qu'on puisse obtenir de la sorte est la mesure uniforme, dVol(x)dux(w). Mais sans nécessairement chercher à démontrer la conjecture, on peut simplement vouloir comprendre certaines
propriétés de ces mesures µ. Par exemple, il y a beaucoup de géodésiques périodiques, est-ce que µ peut-être concentrée sur une telle
géodésique? Cette question, qui reste bien en deçà de la conjecture
d'unique ergodicité quantique, était ouverte jusqu'en 2005.
Les travaux de Anantharaman et Nonnenmacher [Ana08, AN07]
démontrent que l'entropie de Kolmogorov-Binai d'une telle mesure µ
est nécessairement non nulle, ce qui a pour conséquence que µ ne peut
pas être concentrée sur un ensemble de dimension de Hausdorff 1. Par
exemple, µ ne peut pas être concentrée sur une géodésique périodique
(notre résultat donne en fait une borne inférieure explicite sur la
dimension du support de µ).
Dans son texte, F. Faure a exposé le modèle du chat< 2 > qui constitue
le prototype du système dynamique chaotique; du point de vue de la
dynamique classique, ce système partage beaucoup de propriétés avec
le flot géodésique des variétés de courbure négative: la principale différence réside dans le fait que c'est un modèle à temps discret, alors
que le flot géodésique est un modèle à temps continu. Afin de tester
les conjectures sur un modèle simple, plusieurs auteurs ont construit
une version quantique du chat et ont montré une version du théorème d'ergodicité quantique dans ce cas (voir par exemple [BDB96]).
Faure, Nonnenmacher et De Bièvre [FNDB03] ont démontré que, pour
ce modèle, la conjecture d'unique ergodicité quantique n'est pas satisfaite : ils ont pu exhiber des suites de fonctions propres explicites
dont la répartition asymptotique n'est pas donnée par la mesure uniforme. Il est intéressant de constater que, sur ces contre-exemples, la
< 2 >ce nom fantaisiste n'a rien à voir avec l'expérience du chat de Schri:idinger.
Il vient d'un dessin paru dans le livre d'Arnold et Avez [AA67], qui représente
l'action de ce système dynamique sur une tête de chat.