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NALINI ANANTHARAMAN
l'unique ergodicité quantique arithmétique). Plus récemment, Brooks
et Lindenstrauss ont affaibli les hypothèses en supposant simplement
que les
propres de ÂM. Si la multiplicité est 1, toute fonction propre de ÂM
est automatiquement fonction propre des opérateurs de Hecke, et il
n'est pas restrictif de considérer des fonctions propres communes.
Mais si la multiplicité des valeurs propres n'est pas bornée, on peut
imaginer qu'en changeant de base de fonctions propres on observe un
comportement différent de la limite {26). La meilleure borne connue
sur la multiplicité est
m(À) = 0 ( 1 ~),
borne générale pour les surfaces de courbure négative; pour les surfaces arithmétiques on ne sait guère mieux.
Le lecteur intéressé par le cas des surfaces de courbure négative, et
tout particulièrement par les aspects arithmétiques, pourra consulter
les articles de survol [Sar03, Sarll] de Peter Sarnak.
4.2. Résultats plus généraux
Soit M une variété riemannienne compacte, et soit (
de compacité permet d'affirmer, quitte à extraire une sous-suite, que
la limite de (nk 1 0phnk(a)nk) existe pour tout a E C'g°(T*M) et
qu'elle est de la forme
j a(x, w)µ(dx, dw),
oùµ est une mesure de probabilité sur
S*M = {(x,w) 1 x E M,w E s;M}.
Dans la littérature, ces mesures µ sont désignées, selon les auteurs,
par le terme de mesures semi-classiques, mesures de Wigner, mesures
de défaut, limites quantiques associées à la suite de fonctions propres
( nk). Certaines de leurs propriétés ont été discutées au § 4.3 du texte
de C. Fermanian (ce volume).
Le théorème d'Egorov, associé à la remarque selon laquelle
(ni Ophn (a)n) = (n, e-ithnll.M/2 Ophn (a)eithnll.M/2n)
NALINI ANANTHARAMAN
l'unique ergodicité quantique arithmétique). Plus récemment, Brooks
et Lindenstrauss ont affaibli les hypothèses en supposant simplement
que les
propres de ÂM. Si la multiplicité est 1, toute fonction propre de ÂM
est automatiquement fonction propre des opérateurs de Hecke, et il
n'est pas restrictif de considérer des fonctions propres communes.
Mais si la multiplicité des valeurs propres n'est pas bornée, on peut
imaginer qu'en changeant de base de fonctions propres on observe un
comportement différent de la limite {26). La meilleure borne connue
sur la multiplicité est
m(À) = 0 ( 1 ~),
borne générale pour les surfaces de courbure négative; pour les surfaces arithmétiques on ne sait guère mieux.
Le lecteur intéressé par le cas des surfaces de courbure négative, et
tout particulièrement par les aspects arithmétiques, pourra consulter
les articles de survol [Sar03, Sarll] de Peter Sarnak.
4.2. Résultats plus généraux
Soit M une variété riemannienne compacte, et soit (
de compacité permet d'affirmer, quitte à extraire une sous-suite, que
la limite de (nk 1 0phnk(a)nk) existe pour tout a E C'g°(T*M) et
qu'elle est de la forme
j a(x, w)µ(dx, dw),
oùµ est une mesure de probabilité sur
S*M = {(x,w) 1 x E M,w E s;M}.
Dans la littérature, ces mesures µ sont désignées, selon les auteurs,
par le terme de mesures semi-classiques, mesures de Wigner, mesures
de défaut, limites quantiques associées à la suite de fonctions propres
( nk). Certaines de leurs propriétés ont été discutées au § 4.3 du texte
de C. Fermanian (ce volume).
Le théorème d'Egorov, associé à la remarque selon laquelle
(ni Ophn (a)n) = (n, e-ithnll.M/2 Ophn (a)eithnll.M/2n)