LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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des phases. Cet argument reste vague : le problème est que la propriété d'Egorov (24), qui fait le lien entre la dynamique quantique et
le flot géodésique, n'est pas uniforme en temps, et que l'utilisation de
la propriété de mélange nécessiterait l'interversion des deux limites
h -+ 0 et t -+ +oo.
Tout le monde n'est en fait pas convaincu de la validité de cette
conjecture, qui reste ouverte à l'heure actuelle. Une avancée importante est due à Elon Lindenstrauss (médaille Fields 2010) dans le
cas des surfaces de corigruences arithmétiques [Lin06]. C'est ce cas
particulier de la conjecture qui avait motivé Rudnick et Sarnak, spécialistes de théorie analytique des nombres plutôt que de systèmes
dynamiques et d'équations aux dérivées partielles.
Nous nous contenterons d'évoquer superficiellement les travaux
de Lindenstrauss [Lin06], qui utilisent des techniques tout autres
que l'analyse micro-locale développée dans ce texte. Ceci illustre
bien la richesse de ce sujet, motivé par la mécanique quantique et
situé à la confluence de domaines très variés des mathématiques.
Les surfaces de congruences arithmétiques sont des surfaces de courbure constante -1, obtenues en quotientant le demi-plan de Poincaré par des groupes d'isométries très particuliers, construits à partir d'algèbres de quaternions sur Q (on renvoie au livre récent de
N. Bergeron [Berll] pour la construction explicite, et pour une introduction plus détaillée aux techniques utilisées par Lindentrauss).
Ces surfaces arithmétiques peuvent être compactes ou non compactes
(c'est le cas notamment de la surface modulaire). Dans ce texte, nous
avons traité uniquement le cas des variétés compactes, mais les questions se posent aussi, avec des difficultés différentes, dans le cas non
compact.
Les surfaces arithmétiques présentent la particularité de posséder
une famille dénombrable d'opérateurs de Hecke (Tp), indexée par les
nombres premiers p, agissant sur L 2 ( M) de façon auto-adjointe, qui
commutent entre eux ainsi qu'avec tl.M. L'opérateur Tp est en fait
le laplacien associé à la structure p-adique sur M qui vient de sa
construction arithmétique. Tous ces opérateurs commutant entre eux,
on peut restreindre l'étude de l'ergodicité quantique aux fonctions
propres communes à toute la famille. C'est pour de telles fonctions
propres que Lindenstrauss a démontré (26) (c'est ce qu'on appelle
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des phases. Cet argument reste vague : le problème est que la propriété d'Egorov (24), qui fait le lien entre la dynamique quantique et
le flot géodésique, n'est pas uniforme en temps, et que l'utilisation de
la propriété de mélange nécessiterait l'interversion des deux limites
h -+ 0 et t -+ +oo.
Tout le monde n'est en fait pas convaincu de la validité de cette
conjecture, qui reste ouverte à l'heure actuelle. Une avancée importante est due à Elon Lindenstrauss (médaille Fields 2010) dans le
cas des surfaces de corigruences arithmétiques [Lin06]. C'est ce cas
particulier de la conjecture qui avait motivé Rudnick et Sarnak, spécialistes de théorie analytique des nombres plutôt que de systèmes
dynamiques et d'équations aux dérivées partielles.
Nous nous contenterons d'évoquer superficiellement les travaux
de Lindenstrauss [Lin06], qui utilisent des techniques tout autres
que l'analyse micro-locale développée dans ce texte. Ceci illustre
bien la richesse de ce sujet, motivé par la mécanique quantique et
situé à la confluence de domaines très variés des mathématiques.
Les surfaces de congruences arithmétiques sont des surfaces de courbure constante -1, obtenues en quotientant le demi-plan de Poincaré par des groupes d'isométries très particuliers, construits à partir d'algèbres de quaternions sur Q (on renvoie au livre récent de
N. Bergeron [Berll] pour la construction explicite, et pour une introduction plus détaillée aux techniques utilisées par Lindentrauss).
Ces surfaces arithmétiques peuvent être compactes ou non compactes
(c'est le cas notamment de la surface modulaire). Dans ce texte, nous
avons traité uniquement le cas des variétés compactes, mais les questions se posent aussi, avec des difficultés différentes, dans le cas non
compact.
Les surfaces arithmétiques présentent la particularité de posséder
une famille dénombrable d'opérateurs de Hecke (Tp), indexée par les
nombres premiers p, agissant sur L 2 ( M) de façon auto-adjointe, qui
commutent entre eux ainsi qu'avec tl.M. L'opérateur Tp est en fait
le laplacien associé à la structure p-adique sur M qui vient de sa
construction arithmétique. Tous ces opérateurs commutant entre eux,
on peut restreindre l'étude de l'ergodicité quantique aux fonctions
propres communes à toute la famille. C'est pour de telles fonctions
propres que Lindenstrauss a démontré (26) (c'est ce qu'on appelle