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NALINI ANANTHARAMAN
Ceci suffit à conclure qu'on ne peut pas extraire de sous-suite telle
que
( pour tout a.
4. La conjecture d'unique ergodicité quantique
4.1. Énoncé de la conjecture et des résultats de Lindenstrauss
Grâce à l'argument déjà utilisé pour démontrer le corollaire 1.5
dans le cas du tore, le théorème 3.9 peut se reformuler en disant qu'il
existe un sous-ensemble S c N tel que
#{ n E S 1 Àn ~ E}
1
•
N(E)
E~oo .
S . l'
h
À- 1 ! 2
•
l
on pose n = n , on a
lim
( n-++oo,neS
S*M
we'"
Un procédé d'extraction diagonale permettrait en fait de choisir l'ensemble S indépendant de la fonction a.
Une question tout-à-fait naturelle est de savoir si
(26)
lim ( n-++oo
n
pour tout a (sans avoir à extraire de sous-suite), ou, au contraire, s'il
existe des suites croissantes d'entiers (nk) telles que ( converge vers une limite autre. Il est certain que la réponse dépend
des caractéristiques géométriques de la variété M, et en particulier
de propriétés du flot géodésique plus fines que l'ergodicité, mais on
est loin d'une compréhension satisfaisante de cette question.
On parle d'unique ergodicité quantique si la limite (26) a lieu sans
avoir à extraire de sous-suite. Selon la conjecture de Rudnick et Sarnak (conjecture d'unique ergodicité quantique), cette propriété devrait
être satisfaite quand M est une variété compacte de courbure négative [RS94]. L'intuition sur laquelle s'appuie cette conjecture? Ce
seraient les très fortes propriétés de mélange du flot géodésique (voir
le § 2.2 du texte de F. Faure, dans ce volume) qui empêcheraient les
fonctions d'ondes de se localiser dans de petites régions de l'espace