LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
constate que l'on a la formule exacte
(ek, Opllkll-1 (a(x, Ç))ek) = ( ek, Opllkll-1 (a(x, k/llkll))ek)
= r a (x, k/llkll) dx.
J.rd
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On n'a aucune chance de trouver une suite de vecteurs kz tels que
hd a (x, kz/llkzll) dx --t Ja(x,w)dxdux(w)
pour toute fonction a, où Ux = ud-1 est la mesure de volume (d-1)dimensionnel sur §d-l. En effet, dès que kz/llkzll--+ k 00 E §d-l, on a
fyd a(x, kz/llkzll)dx--+ fyd a(x, koo)dx.
Cette remarque est aussi valable pour le laplacien sur la
sphère §d. On remarque que ~Sd commute avec tous les opérateurs Jkl = f(x18/8xk-Xk8/8xz) (k,l = 1, ... ,d+l, k =J l). Ces
opérateurs sont ceux qui engendrent les rotations, au sens suivant :
prenant par exemple (k, l) = (1, 2), pour une fonction a de classe C 1 ,
on a
Ji2a(xi, x2, xa, ... , Xd+i)
= :(} le=oa(cosOx1 +sin Ox2, - sinOx1 +cos Ox2, x3, ... , Xd+i)·
L'opérateur J 12 est celui qui correspond à l'observable classique
J12(x,Ç) = x26 - x16 (x =(xi, ... ,xd+l), Ç = (Çi, ... ,Çd+i)).
Prenons alors pour ( if>n) une suite de fonctions propres communes à
~Sd et à Ji2:
J 12ef>n = !lnif>n·
On montre que µn/ ..;>:;;, est une quantité bornée, à partir du fait que
la fonction (x,Ç) i-+ J12(x,Ç)/1lÇ1l est bornée pour x E §d, Ç E T;§d.
Ainsi, en extrayant une sous-suite, on peut supposer que µn/ ..;>:;;, a
une limite quand n --+ +oo.
Par ailleurs, si a et b sont deux fonctions qui coïncident au voisinage
de l'ensemble
{ (x,Ç) l llÇll = 1, J12(x,Ç) = µn/A},
on montre pour la suite ( if>n) introduite ci-dessus que
(if>n, Op>.;1 (a)ef>nh2(Sd) = (ef>n, Op>i.;1 (b )ef>n) L2(Sd) + o(l)n-++oo·