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NALINI ANANTHARAMAN
Remarquons la dépendance du reste Ot(li) dans le théorème d'Egorov. Dans le cadre euclidien, cette dépendance était linéaire Ot(li) =
O(jtjli). Sur une variété compacte quelconque, il faut plutôt s'attendre
à une dépendance exponentielle, Ot(li) = O(e-Xltlli), où À > 0 est un
exposant de Lyapounov qui mesure la sensibilité aux conditions initiales des solutions de l'équation des géodésiques (17). Cette dépendance exponentielle ne pose aucun problème dans notre preuve, car
nous commençons par considérer la limite li ---t 0 à t fixé. Cependant,
dès que l'on veut attaquer des questions plus fines, telles que la vitesse de convergence vers 0 dans le théorème d'ergodicité quantique,
ou l'unique ergodicité quantique abordée plus bas, la dépendance exponentielle en temps des restes est un problème majeur.
On utilise encore les points suivants :
• Si a E Cgo(T* M), alors Opli(a) est un opérateur de HilbertSchmidt et on a
(25)
llOpli(a))ll~s "'IHO (27rli)-d { la(x, Ç)j 2 dVol(x)dlx(Ç),
}T*M
où fx est la mesure de Lebesgue sur T;M.
• (Loi de Weyl)
N(E) "'E-++oo (27r)-dVol(M) VolR.d(B(O, l))Ed/ 2 .
La loi de Weyl peut être obtenue comme corollaire de la formule (25),
appliquée à Opli.(a) = x 2 (-li 2 d), avec li= E- 1 1 2 , et en raisonnant
comme dans la remarque 1.3.
Une fois ces ingrédients réunis, la preuve des théorèmes 3.8 ou 3.9
est identique à celle du théorème 1.4, à ceci près qu'elle s'applique
à des fonctions a dépendant à la fois de x et de Ç, parce que l'on a
supposé l'ergodicité du flot géodésique (qui n'était pas vérifiée dans
le cas du tore).
Remarque 3.11. On peut voir assez facilement qu'un énoncé tel que
celui du théorème 3.9 est impossible sur le tore. Ceci est lié au fait
que le laplacien commute avec les opérateurs ô/ôxj (j = 1, ... , d).
Considérons la base des fonctions (ek)kEZd (ek(x) = eik•x), qui sont
en fait des fonctions propres communes à tous les opérateurs ô / ÔXj
(j = 1, ... , d). Les valeurs propres de -Â1'd sont les Àn = Il k Il 2 ,
et donc x;;, 1 1 2 = llkll- 1 • Comme Opli(a)ek(x) = a(x,lik)ek(x), on
NALINI ANANTHARAMAN
Remarquons la dépendance du reste Ot(li) dans le théorème d'Egorov. Dans le cadre euclidien, cette dépendance était linéaire Ot(li) =
O(jtjli). Sur une variété compacte quelconque, il faut plutôt s'attendre
à une dépendance exponentielle, Ot(li) = O(e-Xltlli), où À > 0 est un
exposant de Lyapounov qui mesure la sensibilité aux conditions initiales des solutions de l'équation des géodésiques (17). Cette dépendance exponentielle ne pose aucun problème dans notre preuve, car
nous commençons par considérer la limite li ---t 0 à t fixé. Cependant,
dès que l'on veut attaquer des questions plus fines, telles que la vitesse de convergence vers 0 dans le théorème d'ergodicité quantique,
ou l'unique ergodicité quantique abordée plus bas, la dépendance exponentielle en temps des restes est un problème majeur.
On utilise encore les points suivants :
• Si a E Cgo(T* M), alors Opli(a) est un opérateur de HilbertSchmidt et on a
(25)
llOpli(a))ll~s "'IHO (27rli)-d { la(x, Ç)j 2 dVol(x)dlx(Ç),
}T*M
où fx est la mesure de Lebesgue sur T;M.
• (Loi de Weyl)
N(E) "'E-++oo (27r)-dVol(M) VolR.d(B(O, l))Ed/ 2 .
La loi de Weyl peut être obtenue comme corollaire de la formule (25),
appliquée à Opli.(a) = x 2 (-li 2 d), avec li= E- 1 1 2 , et en raisonnant
comme dans la remarque 1.3.
Une fois ces ingrédients réunis, la preuve des théorèmes 3.8 ou 3.9
est identique à celle du théorème 1.4, à ceci près qu'elle s'applique
à des fonctions a dépendant à la fois de x et de Ç, parce que l'on a
supposé l'ergodicité du flot géodésique (qui n'était pas vérifiée dans
le cas du tore).
Remarque 3.11. On peut voir assez facilement qu'un énoncé tel que
celui du théorème 3.9 est impossible sur le tore. Ceci est lié au fait
que le laplacien commute avec les opérateurs ô/ôxj (j = 1, ... , d).
Considérons la base des fonctions (ek)kEZd (ek(x) = eik•x), qui sont
en fait des fonctions propres communes à tous les opérateurs ô / ÔXj
(j = 1, ... , d). Les valeurs propres de -Â1'd sont les Àn = Il k Il 2 ,
et donc x;;, 1 1 2 = llkll- 1 • Comme Opli(a)ek(x) = a(x,lik)ek(x), on