LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
Soit a E C 00 (M). Supposons le flot géodésique ergodique. Alors
E~~oo N~E) ~ l(n, acf>n) - JM a(x)dVol(x)l
2 =O.
>..,.,.;,E
133
Nous définirons ici l'ergodicité par l'égalité (presque sûre) des
moyennes temporelles et spatiales : pour (x, Ç) E T* M et T > 0,
définissons
(a)T(x,Ç) = ~ foT a(t(x,Ç))dt.
On dira que le flot géodésique est ergodique si, pour Lebesgue presque
tout ( xo, Ço) ET* M, et pour toute fonction a continue sur T* M, on a
(23)
lim (a)T(xo,Ço) = j M a(x, llÇollw)dVol(x)dux(w).
T-++oo
xES*M
WE.,
On remarque que l'intégrale (23) porte sur les vecteurs de même
vitesse que la condition initiale Ço, ce qui est naturel puisque les
trajectoires de
tous les (xo, Ço) tels que Ço =f O. Cependant l'étude d'exemples montre
que cette propriété plus forte n'est pas aussi intéressante qu'il n'y paraît : les systèmes dynamiques dits chaotiques, qui nous intéressent ici
en premier lieu, ne sont pas uniquement ergodiques car ils possèdent
une infinité de trajectoires périodiques.
La preuve du théorème 3.8 est à peu près identique à celle du théorème 1.4 une fois que l'on parle le langage des variétés. Contentonsnous d'en rappeler les principaux ingrédients. Ce sont les règles du
calcul pseudo-différentiel qu'il faut adapter aux variétés, en particulier :
• le théorème d'Egorov reliant le laplacien ÂM et le flot géodésique:
(24)
eitH/ti Opt;,(a)e-itH/ti = Opt;,(a o t) + Ot(li),
où H = -1i 2 !:l./2 .
• le calcul fonctionnel : plus précisément, le fait que l'opérateur
X(-n 2 ÂM), défini par
X(-1i 2 ÂM )n = X(1i 2 Àn)n,
pour x E Cgc>(JR), est un opérateur pseudo-différentiel qui coïncide
avec Opt;,(x(llÇll 2 )) à O(!i) près.
Soit a E C 00 (M). Supposons le flot géodésique ergodique. Alors
E~~oo N~E) ~ l(n, acf>n) - JM a(x)dVol(x)l
2 =O.
>..,.,.;,E
133
Nous définirons ici l'ergodicité par l'égalité (presque sûre) des
moyennes temporelles et spatiales : pour (x, Ç) E T* M et T > 0,
définissons
(a)T(x,Ç) = ~ foT a(t(x,Ç))dt.
On dira que le flot géodésique est ergodique si, pour Lebesgue presque
tout ( xo, Ço) ET* M, et pour toute fonction a continue sur T* M, on a
(23)
lim (a)T(xo,Ço) = j M a(x, llÇollw)dVol(x)dux(w).
T-++oo
xES*M
WE.,
On remarque que l'intégrale (23) porte sur les vecteurs de même
vitesse que la condition initiale Ço, ce qui est naturel puisque les
trajectoires de
tous les (xo, Ço) tels que Ço =f O. Cependant l'étude d'exemples montre
que cette propriété plus forte n'est pas aussi intéressante qu'il n'y paraît : les systèmes dynamiques dits chaotiques, qui nous intéressent ici
en premier lieu, ne sont pas uniquement ergodiques car ils possèdent
une infinité de trajectoires périodiques.
La preuve du théorème 3.8 est à peu près identique à celle du théorème 1.4 une fois que l'on parle le langage des variétés. Contentonsnous d'en rappeler les principaux ingrédients. Ce sont les règles du
calcul pseudo-différentiel qu'il faut adapter aux variétés, en particulier :
• le théorème d'Egorov reliant le laplacien ÂM et le flot géodésique:
(24)
eitH/ti Opt;,(a)e-itH/ti = Opt;,(a o t) + Ot(li),
où H = -1i 2 !:l./2 .
• le calcul fonctionnel : plus précisément, le fait que l'opérateur
X(-n 2 ÂM), défini par
X(-1i 2 ÂM )n = X(1i 2 Àn)n,
pour x E Cgc>(JR), est un opérateur pseudo-différentiel qui coïncide
avec Opt;,(x(llÇll 2 )) à O(!i) près.