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NALINI ANANTHARAMAN
de donner à cet énoncé une allure un peu plus sympathique. Pour
cela, pour ô > 0 fixé, on peut appliquer le théorème à une fonction a,
à support dans l'ensemble
{(x,Ç) 1 XE M,Ç E r;M, 11e11E.[1/2-28,3/2 + 2t5]},
et qui vérifie la propriété
a(x, tw) = a(x,w)
pour tout t E [1/2- ô, 3/2 + ô] et w de norme 1. Remarquons que les
expressions se simplifient un peu :
Ja(x, E- 1 1 2 .x:/2w)dVol(x)duœ(w) = Ja(x, w)dVol(x)duœ(w)
dès que E- 1 1 2 .x-:1 2 E [1 /2 - ô, 3 /2 + ô], et on pourrait montrer que
(n, ÛPE-1/2 (a)n) = (n, ÛP.>.;;1/2 (a)n) + o(l)
dès que E- 1 / 2 .x-:1 2 E [1/2, 3/2]. Ainsi le théorème admet la variante
suivante, peut-être plus agréable à lire :
Théorème 3.9 ([Sni74, Zel87, CdV85]). Soit M une variété riemannienne compacte, et soit !::J.M l'opérateur de Laplace-Beltrami sur M.
Soit (n)neN une base hilbertienne de L 2 (M) formée de fonctions
propres du laplacien :
t:ln = -Ànn,
que l'on supposera ordonnée de sorte que Àn ~ Àn+i·
Soit a E Cgo(T* M). Supposons le flot géodésique ergodique. Alors
( 22 ) EIJ~ooN(3E/2)~·N(E/2) ~ l(n,ÛP.>.;; 112 (a)n)
E/2!1(,_.>.n!l(,_3E/2
- j :i:eM a(x,w)dVol(x)duœ(w)l
2 =O.
wes;M
Comme cas particulier, en appliquant le théorème 3.9 à des symboles du type a(x)x(llÇll 2 ), on obtient :
Théorème 3.10. Soit M une variété riemannienne compacte, et soit
!::J.M l'opérateur de Laplace-Beltrami sur M. Soit (n)neN une base
hilbertienne de L 2 (M) formée de fonctions propres du laplacien :
t:ln = -Ànn,
que l'on supposera ordonnée de sorte que Àn ~ Àn+I·
NALINI ANANTHARAMAN
de donner à cet énoncé une allure un peu plus sympathique. Pour
cela, pour ô > 0 fixé, on peut appliquer le théorème à une fonction a,
à support dans l'ensemble
{(x,Ç) 1 XE M,Ç E r;M, 11e11E.[1/2-28,3/2 + 2t5]},
et qui vérifie la propriété
a(x, tw) = a(x,w)
pour tout t E [1/2- ô, 3/2 + ô] et w de norme 1. Remarquons que les
expressions se simplifient un peu :
Ja(x, E- 1 1 2 .x:/2w)dVol(x)duœ(w) = Ja(x, w)dVol(x)duœ(w)
dès que E- 1 1 2 .x-:1 2 E [1 /2 - ô, 3 /2 + ô], et on pourrait montrer que
(n, ÛPE-1/2 (a)n) = (n, ÛP.>.;;1/2 (a)n) + o(l)
dès que E- 1 / 2 .x-:1 2 E [1/2, 3/2]. Ainsi le théorème admet la variante
suivante, peut-être plus agréable à lire :
Théorème 3.9 ([Sni74, Zel87, CdV85]). Soit M une variété riemannienne compacte, et soit !::J.M l'opérateur de Laplace-Beltrami sur M.
Soit (n)neN une base hilbertienne de L 2 (M) formée de fonctions
propres du laplacien :
t:ln = -Ànn,
que l'on supposera ordonnée de sorte que Àn ~ Àn+i·
Soit a E Cgo(T* M). Supposons le flot géodésique ergodique. Alors
( 22 ) EIJ~ooN(3E/2)~·N(E/2) ~ l(n,ÛP.>.;; 112 (a)n)
E/2!1(,_.>.n!l(,_3E/2
- j :i:eM a(x,w)dVol(x)duœ(w)l
2 =O.
wes;M
Comme cas particulier, en appliquant le théorème 3.9 à des symboles du type a(x)x(llÇll 2 ), on obtient :
Théorème 3.10. Soit M une variété riemannienne compacte, et soit
!::J.M l'opérateur de Laplace-Beltrami sur M. Soit (n)neN une base
hilbertienne de L 2 (M) formée de fonctions propres du laplacien :
t:ln = -Ànn,
que l'on supposera ordonnée de sorte que Àn ~ Àn+I·