LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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positifs tendant vers +oo. De plus, il existe une famille (
de Hilbert L 2 (M) (de manière équivalente, les combinaisons linéaires
finies des (n)nEN sont denses dans C 0 (M)).
3.2. Le théorème d'ergodicité quantique pour les fonctions
propres du laplacien
Dans le théorème ci-dessous, on note
N(E) = #{n 1 Àn ~ E}
le nombre de valeurs propres de t::.M inférieures à E, comptées avec
leur multiplicité. Pour XE M, on note s;M c r;M la sphère unité,
et dux la mesure de volume sur la sphère s;M. A partir de maintenant
on normalise dVol(x) et dux en les multipliant par des constantes
positives, choisies de sorte que
JM dVol(y) = 1 et [ dux(w) = 1
Js;M
pour tout x. La mesure dVol(x)dux(w) (x E M,w E s;M), appelée
mesu,re de Liouville, est la mesure uniforme sur les couples (x,w).
Théorème 3.8 ([Sni74, Zel87, CdV85]). Soit M une variété riemannienne compacte, et soit t::.M l'opérateur de Laplace-Beltrami sur M.
Soit (
l:::..n = -Ànn
que l'on supposera ordonnée de sorte que Àn ~ Àn+i ·
Soit a E C~ (T* M). Supposons le flot géodésique ergodique. Alors
E!i~oo NtE) ~ 1 (n, ÛPE-1;2(a)n)
>.n:r;;.E
-1
a(x,E- 1 1 2 .X:/ 2 w)dVol(x)dux(w)j
2 =O.
xEM,wES;M
L'hypothèse absolument cruciale de ce théorème est l'ergodicité du
flot géodésique; nous définirons ce terme dans un instant (rappelons
aussi que des exemples de flots ergodiques ont été introduits dans le
texte de F. Faure, au§ 2, dans ce volume). Mais auparavant, essayons
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positifs tendant vers +oo. De plus, il existe une famille (
de Hilbert L 2 (M) (de manière équivalente, les combinaisons linéaires
finies des (n)nEN sont denses dans C 0 (M)).
3.2. Le théorème d'ergodicité quantique pour les fonctions
propres du laplacien
Dans le théorème ci-dessous, on note
N(E) = #{n 1 Àn ~ E}
le nombre de valeurs propres de t::.M inférieures à E, comptées avec
leur multiplicité. Pour XE M, on note s;M c r;M la sphère unité,
et dux la mesure de volume sur la sphère s;M. A partir de maintenant
on normalise dVol(x) et dux en les multipliant par des constantes
positives, choisies de sorte que
JM dVol(y) = 1 et [ dux(w) = 1
Js;M
pour tout x. La mesure dVol(x)dux(w) (x E M,w E s;M), appelée
mesu,re de Liouville, est la mesure uniforme sur les couples (x,w).
Théorème 3.8 ([Sni74, Zel87, CdV85]). Soit M une variété riemannienne compacte, et soit t::.M l'opérateur de Laplace-Beltrami sur M.
Soit (
l:::..n = -Ànn
que l'on supposera ordonnée de sorte que Àn ~ Àn+i ·
Soit a E C~ (T* M). Supposons le flot géodésique ergodique. Alors
E!i~oo NtE) ~ 1 (n, ÛPE-1;2(a)n)
>.n:r;;.E
-1
a(x,E- 1 1 2 .X:/ 2 w)dVol(x)dux(w)j
2 =O.
xEM,wES;M
L'hypothèse absolument cruciale de ce théorème est l'ergodicité du
flot géodésique; nous définirons ce terme dans un instant (rappelons
aussi que des exemples de flots ergodiques ont été introduits dans le
texte de F. Faure, au§ 2, dans ce volume). Mais auparavant, essayons