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NALINI ANANTHARAMAN
existe (avec dfn = dx1 • • • dxn la mesure de Lebesgue n-dimensionnelle).
Cette limite est notée
JM f(y)dVol(y),
et dVol(y) s'appelle la mesure de volume riemannien sur M (dans le
cas où M est une sphère, cet objet a été noté dud plus haut).
On introduit le produit scalaire hermitien
(!,g) = jMJ(x)g(x)dVol(x)
et la norme associée,
111112 = Ju, J).
Le complété de c 0 (M) pour cette norme est noté L 2 (M), c'est un
espace de Hilbert.
Laplacien
Il existe un unique opérateur différentiel l::i.M d'ordre 2 sur M tel
que
JM l::i.Mf(x)g(x)dVol(x) = - JM 'Vf(x) • 'Vg(x) dVol(x)
pour toutes fonctions f, g sur M, de classe C 2 et nulles en dehors
d'un compact de M. On l'appelle le laplacien sur Mou opérateur de
Laplace-Beltrami. La preuve de l'existence et de l'unicité peut se faire
en calculant l'expression de l::i.M dans des cartes. Plus intuitivement,
le laplacien peut aussi être défini ainsi : si f est à support compact,
on pose fo = f o PM, fonction définie sur un ouvert de Rn, et l::i.M f
est défini comme la restriction à M de la fonction l::i.R,n fo.
Si f n'est pas à support compact, on peut définir en chaque x E M
la valeur l::i.Mf(x) comme étant l::i.M(Xf)(x), où X est une fonction
C 00 à support compact, constante égale à 1 au voisinage de x.
Théorème de diagonalisation du laplacien
Le théorème de diagonalisation du laplacien, que l'on a énoncé sur
le tore et sur la sphère, en donnant explicitement les valeurs propres
et les vecteurs propres, s'étend à toute variété compacte (voir, par
exemple, [EvalO]) :
Théorème 3.7. Soit M une variété riemannienne compacte. Alors les
valeurs propres ordonnées de -l::i.M forment une suite (Àn) de réels