LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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Exemple 3.5. Supposons que M = JR.d. L'équation (15) s'écrit
"l"(t) = 0, les géodésiques sont donc les droites parcourues à vitesse
constante (on omet ici le cas trivial où la vitesse est nulle, et où
bien sûr l'image géométrique de la courbe est réduite à un point). Le
système (17) s'écrit
{
~~ = Ç,
dÇ =0
dt
.
Le flot géodésique admet donc l'expression très simple
tore, après passage au quotient.
Exemple 3.6. Supposons que M = §d. Les courbes tracées sur §d, dont
l'accélération est normale à §d, sont des cercles de rayon 1, parcourus
à vitesse constante (on omet ici encore le cas trivial où la vitesse est
nulle, et où l'image géométrique de la courbe est réduite à un point).
Si x E §d et Ç =/:- 0 est cotangent à §d en x, la géodésique issue de
(x, Ç) est l'intersection de §d avec le plan contenant Ç et passant par
l'origine. Sur la sphère, on voit donc que toutes les géodésiques sont
des courbes fermées. Les variétés qui ont cette propriété s'appellent
variétés de Zoll.
Forme volume et structure hilbertienne
Soit n c M un ouvert borné de M. Pour c > O, notons œ: c Rn
l'ensemble des points qui sont à distance inférieure à c de n. Pour c
assez petit, pour tout x E ne, il existe un unique y E M tel que
x - y .l TyM (si M est un sous-espace affine, y est le projeté orthogonal de x sur M, et si M est une sous-variété quelconque, cela
se démontre grâce au théorème des fonctions implicites). On notera
y=PAfX.
Soit f une fonction M --+ JR, continue à support compact contenu
dans n. Considérons la fonction fo = f 0 PM sur ne. On peut montrer
que la limite
lim c-(n-d} f Jodl"'
e-+0
}o,e
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Exemple 3.5. Supposons que M = JR.d. L'équation (15) s'écrit
"l"(t) = 0, les géodésiques sont donc les droites parcourues à vitesse
constante (on omet ici le cas trivial où la vitesse est nulle, et où
bien sûr l'image géométrique de la courbe est réduite à un point). Le
système (17) s'écrit
{
~~ = Ç,
dÇ =0
dt
.
Le flot géodésique admet donc l'expression très simple
tore, après passage au quotient.
Exemple 3.6. Supposons que M = §d. Les courbes tracées sur §d, dont
l'accélération est normale à §d, sont des cercles de rayon 1, parcourus
à vitesse constante (on omet ici encore le cas trivial où la vitesse est
nulle, et où l'image géométrique de la courbe est réduite à un point).
Si x E §d et Ç =/:- 0 est cotangent à §d en x, la géodésique issue de
(x, Ç) est l'intersection de §d avec le plan contenant Ç et passant par
l'origine. Sur la sphère, on voit donc que toutes les géodésiques sont
des courbes fermées. Les variétés qui ont cette propriété s'appellent
variétés de Zoll.
Forme volume et structure hilbertienne
Soit n c M un ouvert borné de M. Pour c > O, notons œ: c Rn
l'ensemble des points qui sont à distance inférieure à c de n. Pour c
assez petit, pour tout x E ne, il existe un unique y E M tel que
x - y .l TyM (si M est un sous-espace affine, y est le projeté orthogonal de x sur M, et si M est une sous-variété quelconque, cela
se démontre grâce au théorème des fonctions implicites). On notera
y=PAfX.
Soit f une fonction M --+ JR, continue à support compact contenu
dans n. Considérons la fonction fo = f 0 PM sur ne. On peut montrer
que la limite
lim c-(n-d} f Jodl"'
e-+0
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