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NALINI ANANTHARAMAN
Pour faire apparaître ceci comme une équation de Hamilton, il reste
à voir que ce terme s'identifie à -ÔHM/ôx(u), en particulier il faut
comprendre ce que veut dire cette dérivée partielle en x « à Ç fixé ».
Plaçons-nous au voisinage du temps t = 0 (par exemple) et identifions
tous les T;M avec T...,(o)M, par l'application v E T...,(o)M t-+ ÇvlT;M·
Une variation de x « à Ç constant » signifiera que l'élément v de
T...,(o)M reste constant. Calculons alors, en x0 = ï(O), v = ï'(O),
ÔHM
"'"' ÔHM
-- 8 -(xo,Çv)(u) = - L...J Uk- 8 -(xo,Çv)
X
k
Xk
" ' " ' l ô
2
= - L...J Uk. 2 ÔXk llP(x)(v)lllx=xa
k
= - L:ukP(xo)(v) • ( 8
8 p (x0 )(v)).
k
Xk
Puisque v E Tx 0 M, on a P(x0 )(v) = v, donc
P(xo)(v) • ( 8
8 p (xo)(v)) = L ôôPij (xo)VïVj,
. Xk
. . Xk
i,3
de sorte que, finalement,
ôHM
_
ôPij
(20)
- - 8 -(xo,Çv)(u) - - L : -
8 (xo) · VïVjUk.
X
. 'k Xk
i,J,
Par ailleurs, en t = 0, (19) s'écrit (en permutant la notation)
ôPik
(21)
L - 8 . (x0 ) • VïVjUk·
. 'k X3
i,J,
L'identité voulue (21) = (20) n'est autre que l'identité (16) déjà observée.
D
Définition 3.4. Le flot géodésique est la famille de difféomorphismes
(c/>t)telR : T* M -+ T* M telle que, pour tout (xo, Ço) E T* M, t t-+
c/>t(xo, Ço) est la solution du système d'équations différentielles (17)
avec ct> 0 (xo, Ço) = (xo, Ço).
La propriété de flot signifie que
c/>t+s = c/>t 0 c/>s
pour tous t, s E JR, et ct> 0 est l'identité; ceci provient simplement du
fait que (c/>t)teR est le flot des solutions d'une équation différentielle
à coefficients indépendants du temps.