LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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On peut aussi l'écrire sous la forme
(
1
2
HM x,Ç) = 2llÇ o P(x)ll(Rn)*
C'est donc la fonction (y, TJ) i-+ ~ llTJll~Rn)• sur Rn X (Rn)* que l'on
induit sur le sous-ensemble T* M.
Proposition 3.3. On peut écrire l'équation des géodésiques (15) sous la
forme du couple d'équations vectorielles de Hamilton
{
~; = Ô~M (x,Ç),
(17)
dÇ = _ ÔHM(x 1:)
dt
ôx
,.,,
Démonstration. La difficulté principale de cet énoncé vient de ce qu'il
faut interpréter ces équations comme étant des équations sur la sousvariété T* Met non comme des équations sur Rn x (Rn)*, ce qui était
le cas à la proposition 1.4 du texte de F. Faure (ce volume).
En considérant une carte locale, il est clair que le vecteur
ÔHM(x, Ç)/ôÇ n'est autre que Ç. En particulier, par l'identification
de T:i;M et T;M par V 1-t ev = V • (produit scalaire avec v), on a
ÔHM(x,Çv)/ôÇ = v. Par cette identification on a aussi
1
2
HM(x,Çv) = 2llP(x)(v)llRn·
L'équation des géodésiques (15) peut se récrire comme un système
d'équations portant sur la courbe (x(t) = -y(t), Ç-y'(t)) dans T* M, pour
tout u E T-y(t)M :
dx
1
ôHM
dt ='Y (t) = ---ar-(x, Ç-y'(t)),
dÇ-y'(t)
d
-----;ft(u) = dt (Ç-y'(t) o P('Y(t))(u))
= : (-y'(t) • P('Y(t))(u))
t
d
= -y"(t) • P('Y(t))(u) + -y'(t) • dP('Y(t))(u)
d
t
= 0 + -y'(t) • dt P('Y(t))(u).
(18)
Ce dernier terme s'écrit
(19)
L ôô!'i; ('Y(t)). -y'(t)i. -y'(t)k. Uj·
. 'k Xk
i,J,