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NALINI ANANTHARAMAN
notée (Pï;(x)). Puisque la variété M est différentiable, l'application
xi--+ P(x) est différentiable de M dans l'espace des matrices Mn(R).
Pour tout v = 'E; v;e; E TxM, on a donc 'E; Pï;(x)v; = Vi pour
tout i. Les matrices des dérivées âP(x)/âxk satisfont aussi à une
propriété de symétrie que nous allons détailler. Soit x0 un point quelconque de Met soit 'Y(t) une courbe différentiable tracée sur M issue
de x0 • On a donc 'Y(O) = x0 et v := 'Y'(O) E Tx 0 M. Pour tout t on
a ainsi E; Pï;('Y(t)) 'Y'(t); = 'Y'(t)i. En dérivant par rapport à t on
obtient pour tout i, par dérivation composée,
L 8 8 Pï; ('Y(t)) 'Y'(t); 'Y'(t)k + L Pi;(x) 'Y"(t); = 'Y"(t)i,
'k Xk
.
h
3
et en t = 0 on en déduit
L ~Pij (x0 ) VjVk = 'Y 11 (O)i - L P(xo)ij 'Y 11 (O);,
j,k Xk
j
formule qui montre que, quelque soit v E Tx 0 M, le vecteur
L ( L ââPij (xo)v;vk )ei
. 'k Xk
i
3,
est dans l'image de Id-P(x0 ), donc est orthogonal à Tx 0 M. Par
conséquent, pour tout w E Tx 0 M, la forme quadratique sur Tx 0 M
définie par
~ (~âPï;
)
Qw(v, v) = L..J Wi L..J - 8 (xo)v;vk
.
'k Xk
i
3,
est nulle. Par polarisation on en déduit que, pour tous u, v E Tx 0 M,
on a Qw(u, v) +Qw(v, u) =O. Nous n'utiliserons l'annulation de cette
forme tri-linéaire que pour les triplets u, v, w avec w = v, ce qui donne
~ âPi;
~ âPik
(16)
L..J a-(xo)ViVjUk = - L..J ~(xo)ViVjUk
i,j,k Xk
i,j,k X3
pour tout x0 E M et pour tous u, v E Tx 0 M.
Revenons maintenant aux géodésiques. L'équation des géodésiques
signifie que la forme linéaire composée Ç-y"(t) o P('Y(t)) : Rn --+ R est
nulle pour tout t E J. On considère sur le fibré cotangent T* M (défini
par (14) et muni de la métrique induite par celle de (Rn)*) la fonction
(hamiltonien)