LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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pour touts E] - e,e[ (c'est à-dire que les extrémités sont fixes). En
particulier, on a fs 'Ys(a) = 0 et fs -y8 (b) =O. Une condition nécessaire
et suffisante pour que ' Y soit une géodésique est donc que
{b y'(t) • dd
-y 8 (t)dt = 0
la
Bls=O
pour toute famille C 2 de courbes 'Ys : [a, b] -t Rn tracées sur M,
telles que ' YO = ' Y et d'extrémités fixes. Comme lsis=o'Ys(t) est un
élément quelconque de T-y(t)M, on voit qu'une condition nécessaire et
suffisante est que
(15)
pour tout t : l'accélération doit être normale à M.
Définition 3.2. Plus généralement, si I c R est un intervalle de R, on
dira que ' Y : I -t M est une géodésique si ' Y est de classe C 2 et si on
a -y"(t) ..l T-y(t)M pour tout t E I (alors ll'Y'(t)ll =este).
Montrons que l'équation des géodésiques (15) peut se mettre sous
forme hamiltonienne, afin de faire le lien avec les exposés précédents.
Cela peut paraître artificiel ici, mais le caractère hamiltonien de
l'équation joue en fait un rôle très important quand on veut faire
le lien avec la mécanique quantique. Cela dit, comme nous ne donnerons pas de preuves détaillées concernant les opérateurs pseudodifférentiels sur les variétés, il est tout-à-fait possible de passer à la
définition 3.4 sans lire les calculs ci-dessous. On notera toujours li· li
la norme euclidienne sur Rn muni de sa base canonique orthonormée
(ei, ... , ên), et on utilisera la même notation 11·11 pour la norme sur le
dual (Rn)*. L'usage de la même notation est justifié par la remarque
que l'identification de (Rn)* à Rn grâce au produit scalaire est une
isométrie. Néanmoins, quand on voudra souligner la différence entre
ces deux normes, on les notera ll·llntn et ll·ll(nt")*·
Pour v E Rn on note Çv : Rn -t R la forme linéaire x i-t v • x sur Rn
(produit scalaire par v). L'application v i-t Çv est donc l'identification
usuelle entre Rn et son dual. Rappelons que, pour x E M, P(x)
désigne le projecteur orthogonal de Rn sur l'espace tangent TxM.
C'est en particulier un endomorphisme de TxM, et pour tout vecteur
v E TxM, on a P(x)(v) = v. Sa matrice dans la base (ei, ... ,en) sera
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pour touts E] - e,e[ (c'est à-dire que les extrémités sont fixes). En
particulier, on a fs 'Ys(a) = 0 et fs -y8 (b) =O. Une condition nécessaire
et suffisante pour que ' Y soit une géodésique est donc que
{b y'(t) • dd
-y 8 (t)dt = 0
la
Bls=O
pour toute famille C 2 de courbes 'Ys : [a, b] -t Rn tracées sur M,
telles que ' YO = ' Y et d'extrémités fixes. Comme lsis=o'Ys(t) est un
élément quelconque de T-y(t)M, on voit qu'une condition nécessaire et
suffisante est que
(15)
pour tout t : l'accélération doit être normale à M.
Définition 3.2. Plus généralement, si I c R est un intervalle de R, on
dira que ' Y : I -t M est une géodésique si ' Y est de classe C 2 et si on
a -y"(t) ..l T-y(t)M pour tout t E I (alors ll'Y'(t)ll =este).
Montrons que l'équation des géodésiques (15) peut se mettre sous
forme hamiltonienne, afin de faire le lien avec les exposés précédents.
Cela peut paraître artificiel ici, mais le caractère hamiltonien de
l'équation joue en fait un rôle très important quand on veut faire
le lien avec la mécanique quantique. Cela dit, comme nous ne donnerons pas de preuves détaillées concernant les opérateurs pseudodifférentiels sur les variétés, il est tout-à-fait possible de passer à la
définition 3.4 sans lire les calculs ci-dessous. On notera toujours li· li
la norme euclidienne sur Rn muni de sa base canonique orthonormée
(ei, ... , ên), et on utilisera la même notation 11·11 pour la norme sur le
dual (Rn)*. L'usage de la même notation est justifié par la remarque
que l'identification de (Rn)* à Rn grâce au produit scalaire est une
isométrie. Néanmoins, quand on voudra souligner la différence entre
ces deux normes, on les notera ll·llntn et ll·ll(nt")*·
Pour v E Rn on note Çv : Rn -t R la forme linéaire x i-t v • x sur Rn
(produit scalaire par v). L'application v i-t Çv est donc l'identification
usuelle entre Rn et son dual. Rappelons que, pour x E M, P(x)
désigne le projecteur orthogonal de Rn sur l'espace tangent TxM.
C'est en particulier un endomorphisme de TxM, et pour tout vecteur
v E TxM, on a P(x)(v) = v. Sa matrice dans la base (ei, ... ,en) sera