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NALINI ANANTHARAMAN
On vérifie que la longueur ne dépend pas du paramétrage, alors que
l'énergie en dépend. Ceci permet de définir une distance sur M
dM(x,y) = inf{f('Y) 1-y(O) = x, -y(l) =y}.
Cette distance définit sur M la même topologie que la topologie induite.
Gradient d'une fonction
Soit f: M---+ R. de classe C 1 et soit y E M. La différentielle df(y)
est une forme linéaire sur TyM : pour tout v E TyM,
df(y)v = lim /('Y(t)) - f(y)
t-+0
t
où 'Y est une courbe tracée sur M telle que -y(O) =y et -y'(O) = v.
Comme le produit scalaire définit une forme bilinéaire non dégénérée sur TyM, il existe un unique vecteur de TyM, noté 'V /(y), tel
que
df (y)v = '\! f(y) •V
pour tout v E TyM.
Géodésiques
Soit 'Ys : [a, b] ---+ e.n une famille de courbes tracées sur M, indexées
par s E] - c, c[. Plus précisément, on demande que (s, t) i--+ 'Ys(t) soit
de classe C 2 sur] - c, c[ X [a, b]. L'application énergie, s 1--t E('Ys) est
dérivable, et par dérivation sous le signe f,
:s E('Ys) =lb 'Y~(t) • ! -y~(t)dt
rb
d d
= la is(t) • ds dt 'Ys(t)dt
rb
d d
= la 'Y~(t) • dt ds 'Ys(t)dt
=-[~w·!~w&+iw·!~w-iw·!~w
(intégration par parties). On dira qu'une courbe 'Y : [a, b] ---+ M est
une géodésique de M si l'on a fsls=OE('Ys) = 0 pour toute famille C 2
de courbes 'Ys : [a, b] ---+ e.n tracées sur M, telles que ' Yo = 'Y et telle
que
'Ys(a) = -y(a),
'Ys(b) = -y(b)