LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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De manière plus intuitive : v E TyM si et seulement si il existe une
courbe 1 : ] - ê, ê[ -+ Rn de classe ci avec 1(t) E M pour tout t,
1(0) =y, 1 1 (0) = v.
Le fibré tangent de M est le sous-ensemble de Rn x Rn défini comme
suit:
TM= {(x,v) E Rn X Rn 1 XE M, VE TxM}
(c'est une sous-variété de dimension 2d de Rn x Rn).
Le produit scalaire défini par la base canonique de Rn permet d'identifier Rn à (Rn)* et l'espace dual T;M du sous-espace
TyM c Rn à l'espace des formes linéaires sur Rn s'annulant sur
l'orthogonal TyM1-. Soit P(y) : Rn-+ TyM le projecteur orthogonal.
Alors l'espace cotangent T;M est plongé comme un sous-espace
vectoriel de (Rn)* par l'application
(13)
Ç E T;M t--t Ç o P(y) E (Rn)*.
Le fibré cotangent T* M est la sous-variété de dimension 2d de
Rn x (Rn)* définie par
(14)
T*M = {(x,ÇoP(x)) E Rn x (Rn)* 1 x E M,Ç E T;M}.
Structure riemannienne induite sur M, et distance associée
Pour y E M et v, v' E TyM, on peut définir leur produit scalaire
v • v' comme étant celui qui provient de la structure euclidienne
usuelle de Rn. La donnée d'un produit scalaire sur chaque espace
tangent TyM (dépendant de manière Ck de y) est ce qu'on appelle
structure riemannienne de classe Ck sur M. Ici, par souci de simplicité, on ne parlera pas de structures riemanniennes abstraites et
on ne regardera que le cas de sous-variétés de Rn avec la structure
riemannienne induite.
On définit la longueur f('Y) d'une courbe 1 : [O, 1] -+ Rn de
classe ci tracée sur M :
et son énergie E('Y),