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NALINI ANANTHARAMAN
Autrement dit, la limite est invariante par la transformation a i---+
aoRo.
Comme le cercle '?/ porte une unique mesure de probabilité invariante par toutes les rotations Ro, on a nécessairement
. fsd a(u)ln(u)l 2 dud(u)
1 [ 2 7r
•
hR1 fsd ln(u)l 2dud(u) = 2 71" Jo a(cosO, smO, 0, ... , O)dO
pour toute fonction a continue sur §d.
Nous verrons au paragraphe 4.3 que ce phénomène de concentration de fonctions propres sur des courbes marque une grande différence entre le tore et la sphère : en effet, sur le tore, Bourgain et
Jakobson ont démontré à partir du développement en série de Fourier (2) que cela n'est pas possible.
3. Ergodicité quantique sur les variétés riemanniennes
3.1. Structures riemanniennes et opérateur de LaplaceBeltrami
Pour simplifier la présentation, nous considérons uniquement des
sous-variétés de Rn (ceci n'est en fait pas une restriction, si l'on
connaît le théorème de plongement de Nash (1956, [Nas56]), selon
lequel toute variété riemannienne abstraite peut se réaliser de manière
isométrique comme sous-variété d'un espace euclidien Rn avec n assez
grand).
Définition 3.1 (sous-variété). Un sous-ensemble Mc Rn est une sousvariété de dimension d et de classe ck si, pour tout X E M, il existe
un voisinage U de x dans Rn, un ouvert n de JRd contenant 0, et une
application cl> de classe Ck de 0 dans JRn, telle que cI>(O) = x, dcI>(O)
est injective, et cl> est un homéomorphisme den sur Mn U (muni de
la topologie induite).
On renvoie, par exemple, au livre de Berger-Gostiaux [BG92]. La
sous-variété M est munie de la topologie induite par celle de JRn. Les
applications cl> de la caractérisation (3) s'appellent des cartes. Une
application f : M --+ lR est dite de classe Ck si f o cl> est de classe Ck,
pour toute carte cl>. L'espace tangent TyM à Men un point y est le
sous-espace vectoriel de ]Rn
TyM =del>( a) . JRd si y E Mn U et y = cI>(a).
NALINI ANANTHARAMAN
Autrement dit, la limite est invariante par la transformation a i---+
aoRo.
Comme le cercle '?/ porte une unique mesure de probabilité invariante par toutes les rotations Ro, on a nécessairement
. fsd a(u)ln(u)l 2 dud(u)
1 [ 2 7r
•
hR1 fsd ln(u)l 2dud(u) = 2 71" Jo a(cosO, smO, 0, ... , O)dO
pour toute fonction a continue sur §d.
Nous verrons au paragraphe 4.3 que ce phénomène de concentration de fonctions propres sur des courbes marque une grande différence entre le tore et la sphère : en effet, sur le tore, Bourgain et
Jakobson ont démontré à partir du développement en série de Fourier (2) que cela n'est pas possible.
3. Ergodicité quantique sur les variétés riemanniennes
3.1. Structures riemanniennes et opérateur de LaplaceBeltrami
Pour simplifier la présentation, nous considérons uniquement des
sous-variétés de Rn (ceci n'est en fait pas une restriction, si l'on
connaît le théorème de plongement de Nash (1956, [Nas56]), selon
lequel toute variété riemannienne abstraite peut se réaliser de manière
isométrique comme sous-variété d'un espace euclidien Rn avec n assez
grand).
Définition 3.1 (sous-variété). Un sous-ensemble Mc Rn est une sousvariété de dimension d et de classe ck si, pour tout X E M, il existe
un voisinage U de x dans Rn, un ouvert n de JRd contenant 0, et une
application cl> de classe Ck de 0 dans JRn, telle que cI>(O) = x, dcI>(O)
est injective, et cl> est un homéomorphisme den sur Mn U (muni de
la topologie induite).
On renvoie, par exemple, au livre de Berger-Gostiaux [BG92]. La
sous-variété M est munie de la topologie induite par celle de JRn. Les
applications cl> de la caractérisation (3) s'appellent des cartes. Une
application f : M --+ lR est dite de classe Ck si f o cl> est de classe Ck,
pour toute carte cl>. L'espace tangent TyM à Men un point y est le
sous-espace vectoriel de ]Rn
TyM =del>( a) . JRd si y E Mn U et y = cI>(a).