LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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G " '
.
l'' t' 1 JEi/2 2xd-i d
bt' t
race a une comparaison avec m egra e 1
(d-l)! x, on o ien
2Ed/2
N(E)"' d!'
2.2. Suite de fonctions propres se concentrant sur l'équateur
Considérons la suite de fonctions n sur JRd+l définie par
n(x1 1 . . . ,Xd+i) = (x1 +ix2)n. Pour tout entier n, n est un
polynôme n-homogène sur JRd+l, et l'on vérifie aisément qu'il est
harmonique. La restriction de n à §d est donc une fonction propre
du laplacien, de valeur propre -n( n + d - 1). Sa norme dans L 2 (§d)
est Usd lui+ iu21 2 ndud(u)) 1 1 2 , quantité que nous n'avons pas besoin
de calculer explicitement pour ce qui suit.
On constate que sur §d le maximum de u i--t lui + iu2 I est 1, atteint
si et seulement si ua = u4 = · · · = ud+l =O. Un argument standard(!}
montre alors que, si a est une fonction continue sur §d, qui s'annule
au voisinage du cercle~= {u E §d 1 ua = u4 = · · · = ud+l = O},
on a
[ a(u)lu1 + iu21 2 ndud(u)
lim Jsd
=O.
n-Hoo
[ lui+ iu21 2 ndud(u)
lsd
Autrement dit, toute la « masse » des fonctions propres n se
concentre sur le cercle ~.
Soit maintenant a une fonction continue quelconque sur §d. En
remarquant que n o Ro = e-inO n pour tout fJ E JR, où Ro est la
rotation des deux premières coordonnées définie par
Ro(x1, x2, xa, ... , Xd+i)
= (cos fJx1 + sin fJx2, - sin fJx1 + cos fJx2, xa, ... , Xd+l),
et en utilisant l'invariance de u d par les isométries, on montre que
[ a(u)ln(u)l 2 dud(u)
[ a o Ro(u)ln(u)l 2 dud(u)
lim Jsd
= lim . ; ; _Js ==- d
________ _
n
[ ln(u)l 2 dud(u)
n
[ ln(u)l 2 dud(u)
lsd
lsd
ci> sur le support de a, on peut trouver o > 0 tel que lui +iu2I<1-25. En revanche,
il existe un voisinage 06 de la courbe t:(J' tel que lui + iu2 I > 1 - o sur 06. Ainsi,
1
fsd a(u)lui + iu2l 2 ndud(u) 1 ~ (1- 25) 2 n fs<1 la(u)ldud(u).
fs<1 lui+ iu21 2 ndud(u)
1- o
f 06 dud(u)