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NALINI ANANTHARAMAN
(3) La dimension dm de .7ff' .9'm vaut
(m+d-2)!
dm= Ôm-Ôm-2 = (2m+d-1) (d-l)!m! ·
Démonstration. On va montrer que g;Jm = .?ff'm E9 Q9m-2 pour tout
m ~ 2. Le (3) en découlera, ainsi que le (1) en faisant une récurrence.
On introduit sur glJ le produit scalaire hermitien défini par
((p, q)) = L a! PaQa
aENd+l
si p - I:aeNd+1 PaXa et q = I:aeNd+l QaXa. On a noté a! -
a1! ... ad+l!.
On vérifie qu'on a ((ôœkP' q)) = ((p, Xkq)), d'où
((~JRd+iP, q)) = ((p, Qq)),
autrement dit, l'adjoint de ~JRd+l est l'opérateur MQ de multiplication par Q. La formule annoncée résulte alors de l'identité
gl}m =Ker ~JRd+i E9 (Ker ~JRd+1).l
(on utilise ici l'orthogonal au sens du produit scalaire((•,•))) et
(Ker~JRd+i).l = Im~jRd+1 = lmMQ = Q9m-2·
Le théorème de Stone-Weierstrass implique que l'ensemble des restrictions à §d d'éléments de glJ est dense dans c 0 (sd), lui-même
dense dans L 2 (Sd). Le (1) implique alors que tout élément de 9m
coïncide sur §d, avec un élément de E9k..;m;2.7'4, et ceci démontre le
point (2).
D
En utilisant la formule de Stirling, on montre que la multiplicité dm
de la valeur propre -m( m + d - 1) est donnée, asymptotiquement
quand m -t +oo, par la formule
2md-1
dm,..., (d-1)!'
On en déduit la loi de Weyl : soit N(E) = I:m(m+d-l)..;E dm; alors
pour E -t +oo on a
2md-1
N(E),..., L (d-1)!'
m,.;E1/2