LE THÉORÈME D'ERGODICITÉ QUANTIQUE
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propres de ~Sd, et comme le degré d'homogénéité d'un polynôme est
un entier, les valeurs propres de ~Sd sont donc les -m(m + d - 1),
où m EN (on calculera aussi les multiplicités des valeurs propres).
On notera 9 l'algèbre des fonctions polynomiales à plusieurs variables sur Rd+I. Une base de cette algèbre est donnée par les fonctions
X = (xi, ... 1 Xd+I) 1----+ XOI. 1
où a= (ai, ... , ad+I) E Nd+l est un multi-indice, et la notation xa
désigne xf 1 ••• x~~1 1 • On notera 9m l'espace des fonctions polynomiales homogènes de degré m, engendré par les fonctions x i-+ xa
avec lai = ai + · · · + ad+I = m. La dimension Ôm de 9m est
ô _ (m+d)!
m- d!m! '
c'est le nombre de manières d'écrire m = ai + · · · + ad+I avec les ai
entiers positifs. Remarquons que ~JRd+i envoie 9m dans 9m-2· On
notera
.Yem = {p E 9m 1 ~JRd+iP = 0}
et .Ye Ym c C 00 (Sd) les restrictions à §d des fonctions de .Yem. On sait
que les éléments de .Ye Y m sont des fonctions propres de ~Sd pour la
valeur propre -m( m + d- 1) (on les appelle harmoniques sphériques)
et ceci implique que pour m =f m', les espaces .Ye Y m et .Ye Y m' sont
orthogonaux pour le produit scalaire (•, •).
Le but de ce qui suit est de montrer que E0mEN .Ye Y m est dense
dans L 2 (Sd), afin de montrer qu'on a exhibé ainsi toutes les fonctions
propres.
Notons Q l'élément de 92, Q(x) = xî + · · · + x~+I ·
Proposition 2.1.
(1) Pour toute application polynomiale p E 9m, il existe des applications polynomiales harmoniques hk E .7'em-2k (k EN, 0 ~ k ~ m/2)
telles que
p= :L hkQk.
O~k~m/2
(2) EBm.YeYm est dense dans c 0 (Sd) et donc dans L 2 (Sd). Par
conséquent, l'espace de Hilbert L 2 (Sd) est somme hilbertienne des
.Ye Ym (ces sous-espaces étant deux à deux orthogonaux).