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NALINI ANANTHARAMAN
De la formule
{
~JRd+if(x)g(x)df1+1(x) = f f(x)~JRd+ig(x)dtl+ 1 (x)
lJRd+l
lJRd+l
= - f 'Vf(x) • 'Vg(x)did+l(x)
lJRd+l
valable pour f, g à supports compacts et de classe 0 2 sur JR.d+l, on
peut déduire la formule
(12)
{ ~sdf(u)g(u)dud(u) = { f(u)~sdg(u)dud(u)
lsd
lsd
= - { 'V fo(u) • 'Vgo(u)dud(u)
lsd
valable pour f, g de classe 0 2 sur §d; les fonctions fo, go sont, comme
plus haut, les fonctions 0-homogènes qui coïncident avec f, g sur §d.
Le gradient 'V f o ( u) est orthogonal à u.
Exactement comme dans le cas du tore, on en déduit que
• Les valeurs propres de ~Sd sont des réels ~ 0 ;
• si f et g sont des fonctions propres associées à des valeurs propres
distinctes, alors fsd f(u)g(u)dud(u) = 0, autrement dit, elles sont
orthogonales pour le produit scalaire hermitien
(g, f) = { f(u)g(u) dud(u).
lsd
Si f E 0° (§d) on notera
llf 112 = J (f, f)
et on définit l'espace de Hilbert L 2 (§d) comme le complété de o 0 (§d)
pour cette norme.
Une fonction f sur un ouvert de JR.d+l est dite harmonique si
~JRd+1f = O. De la formule (11), on déduit directement que si f
est harmonique sur§~, et homogène de degré a (c'est-à-dire qu'elle
satisfait à (10)), alors la fonction F = u i-t f(u) définie sur §d vérifie
~sdF = -a(a + d- l)F.
Autrement dit, F est une fonction propre du laplacien sur la sphère.
Ci-dessous on va montrer qu'en fait les restrictions à §d des polynômes harmoniques sont denses dans 0°(Sd) et donc dans L 2 (§d). Il
en découlera que l'on peut trouver une base hilbertienne de L 2 (§d),
formée de restrictions à §d de polynômes homogènes harmoniques.
Ces polynômes nous fournissent une base hilbertienne de fonctions